Был старшим из шестерых детей в семье управляющего имением и впоследствии (после переезда в Вену) банковского служащего Игнаца Барани (Ignácz Bárány) из Варпалоты и Марии Хок (Marie Hock, 1853—?), дочери пражского историка и журналиста, приверженца движения еврейского просвещения Шимона Хока (1815—1892)[4] и Йоханны Брандейс (1820—?). В результате перенесённого в детстве костного туберкулёза остался хромым, но также развил интерес к медицине.
Обучался в медицинской школе Венского университета, в 1900 году получил учёную степень доктора медицины (его диссертация была посвящена явлению ритмического нистагма). Для исследования использовал созданный им механизм, называемый ныне креслом Барани.
Роберт Барани работал хирургом в австрийской армии, и был взят в плен российской армией. Когда в 1914 году, за его исследования вестибулярного аппарата, ему была присуждена Нобелевская премия, Роберт Барани содержался в лагере военнопленных. В 1916 году, после ходатайства Международного Красного Креста, он был освобождён и смог получить эту награду. С 1917 года и до своей смерти в 1936 году он работал профессором факультета отоларингологии Уппсальского университета.
Сыновья Роберта Барани (от брака с Идой Бергер, с 1909 года) стали известными учёными — шведский офтальмолог и физиолог Эрнст Барани (швед.Ernst H. Barany, 1910—1991)[5] и шведский гастроэнтеролог Франц Р. Барани (р. 1914); дочь — американский психиатр и психоаналитик Ингрид Барани Гиффорд (англ.Ingrid Barany Gifford, 1918—2003).
Изображен на почтовых марках Швеции 1974 года, Австрии 1976 года, Венгрии 1988 года, Сент-Винсента и Гренадин 1995 года и Чада 1997 года.[6][7]
↑Шимон Хок (Simon Hock) был выпускником известной пражской ешивы рабби Иегуды Лейба Шлезингера, учеником основателя еврейской историографии Леопольда Цунца. Сотрудничал с газетами Allgemeine Zeitung des Judenthums и Der Orient; известен трудами по еврейской эпитафике средневековой Праги.
↑Geeta Gore, J. V. Pai-Dhungat.Medical Philately // Journal of the Association of Physicians of India. — September 2013. — Vol. 61. — P. 679. Архивировано 31 августа 2021 года.