Teorema lui Cauchy (geometrie)

Teorema lui Cauchy este o teoremă din domeniul geometriei, denumită după Augustin Cauchy. Aceasta afirmă că politopurile convexe în trei dimensiuni cu fețe corespondente congruente trebuie să fie congruente unul cu celălalt. Acest lucru înseamnă că orice desfășurată a unui poliedru format de desfășurarea fețelor poliedrului pe o suprafață plană, împreună cu instrucțiunile de lipire care să descrie care fețe trebuie conectate între ele, determină în mod unic forma poliedrului original. De exemplu, dacă șase pătrate sunt conectate sub forma unui cub, atunci ele trebuie să formeze un cub: nu există un alt poliedru convex cu șase fețe pătrate conectate în același fel care să nu aibă aceeași formă.

Acesta este un rezultat fundamental al teoriei rigidității: o consecință a teoremei este că, dacă cineva va face un model fizic de poliedru convex, conectând plăci rigide pentru fiecare dintre fețele poliedrului cu balamale flexibile de-a lungul marginilor, atunci acest ansamblu de plăci și balamale va forma neapărat o structură rigidă.

Afirmație

Fie P și Q politopuri convexe tridimensionale, echivalente din punct de vedere combinatoric; înseamnă că acestea sunt politopuri convexe cu laticea fețelor izomorfă. Se presupune în continuare că fiecare pereche de fețe corespondente din P și Q sunt congruente reciproc, adică formează un rigid. Atunci P și Q sunt și ele congruente.

Pentru a dovedi necesitatea convexității, se consideră un icosaedru regulat. Se poate „adăuga forțat” un vârf pentru a crea un poliedru neconvex care să fie totuși încă echivalent din punct de vedere combinatoric cu un icosaedru regulat. Un alt mod de a aborda acest caz poate fi prin luarea piramidei pentagonale de la un vârf și reflectarea ei față de baza ei.

Icosaedru regulat (convex)

Istoric

Rezultatul își are originea în Elementele lui Euclid, în care corpurile solide sunt numite egale dacă același lucru se aplică și pentru fețele lor. Această versiune a rezultatului a fost demonstrată de Cauchy în 1813, bazându-se pe activitatea anterioară a lui Lagrange. O eroare în demonstrația lui Cauchy a lemei principale a fost corectată de Ernst Steinitz, Isaac Jacob Schoenberg și Aleksandr Danilovich Aleksandrov. Varianta corectată este atât de scurtă și de elegantă, încât este considerată a fi parte din Proofs from THE BOOK^⁠(d).^[1]

Generalizări și rezultate similare

• Rezultatul nu se menține pe un plan sau pentru poliedre neconvexe în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: există poliedre flexibile neconvexe care au unul sau mai multe grade de libertate care le conservă forma fețelor. În special octaedrele Bricard sunt suprafețe flexibile auto-intersectate descoperite de matematicianul francez Raoul Bricard în 1987. Sfera Conelly, un poliedru flexibil neconvex omomorf cu o 2-sferă a fost descoperită de Robert Connelly în 1977.^[2][3]
• Deși teorema a fost demonstrată de Cauchy în trei dimensiuni, ulterior a fost extinsă de către Alexandrov (1950) la dimensiuni mai mari.
• Teorema rigidității a lui Cauchy este un corolar al teoremei lui Cauchy, care afirmă că un politop convex nu poate fi deformat astfel încât fețele sale să rămână rigide.
• În 1974, Herman Gluck a demonstrat că într-un anumit sens aproape toate suprafețele închise conectate în mod simplu (adică din spațiul simplu conex) sunt rigide.^[4]
• Teorema rigidității a lui Dehn este o extensie a teoremei rigidității lui Cauchy la rigiditatea infinitezimală. Rezultatul a fost obținut de către Dehn în 1916.
• Teoria unicității a lui Alexandov^⁠(d) este un rezultat obținut de Alexandrov (1950) care generalizează teorema lui Cauchy, demonstrând că poliedrele convexe sunt descrise în mod unic în spațiile metrice de geodezicele de pe suprafața lor. Teorema analoagă a unicității pentru suprafețe netede a fost demonstrată de Cohn-Vossen în 1927. Teorema unicității lui Pogorelov este un rezultat obținut de Pogorelov, care generalizează ambele rezultate și fiind aplicabilă pentru suprafețele convexe în general.

Note

1. en Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Proofs from THE BOOK. Springer. pp. 91–93. ISBN 9783540404606. 
2. en Connelly, Robert (1977). „A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra”. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47: 333–338. doi:10.1007/BF02684342. ISSN 0073-8301. 
3. en Connelly, Robert (1979). „The Rigidity of Polyhedral Surfaces”. Mathematics Magazine. 52 (5): 275–283. doi:10.2307/2689778. JSTOR 2689778. 
4. en Gluck, Herman (1975). „Almost all simply connected closed surfaces are rigid”. În Glaser, Leslie Curtis; Rushing, Thomas Benjamin. Geometric Topology. Lecture Notes in Mathematics. 438. Springer Berlin Heidelberg. pp. 225–239. doi:10.1007/bfb0066118. ISBN 9783540374121. 

Bibliografie

• fr A. L. Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
• de Max Dehn, Über die Starrheit konvexer Polyeder, Math. Ann. 77 (1916), 466–473.
• en Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Convex polyhedra, GTI, Moscow, 1950. traducere în limba engleză: Springer, Berlin, 2005.
• en James J. Stoker, Geometrical problems concerning polyhedra in the large, în Communications on Pure and Applied Mathematics 21 (1968), 119–168.
• en Robert Connelly, Rigidity, în Handbook of Convex Geometry, vol. A, 223–271, North-Holland, Amsterdam, 1993.