Teorema de Green–Tao

Impressão artística do Teorema de Green-Tao, por Oliver Sin

Na matemática, o teorema de Green-Tao, demonstrado por Ben Green e Terence Tao em 2004,^[1] afirma que a sequência de números primos contém progressões aritméticas arbitrariamente longas. Em outras palavras, para cada número natural k, existe um progressão aritmética formada por k números primos. O Teorema de Green-Tao é um caso particular da conjectura de Erdős sobre progressões aritméticas.

Generalizações

Em 2006, Tao e Tamar Ziegler generalizaram o resultado de forma a ser válido para progressões polinomiais.^[2] Mais precisamente, dados k polinômios de coeficientes inteiros, ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{k}\,}$, tais que ${\displaystyle P_{j}(0)=0\,}$, existem infinitos pares de inteiros ${\displaystyle (x,m)\,}$ tais que ${\displaystyle x+P_{j}(m)\,}$ são números primos.

Construções

Dado que estes teoremas são de existência pura, eles não trazem qualquer informação sobre como encontrar tais seqüências. Em 18 de janeiro de 2007, Jaroslaw Wroblewski encontrou a primeira seqüência aritmética de primos com 24 termos:^[3]

468395662504823 + 205619 × 23# × n, for n = 0 to 23 (23# = 223092870).

Ver também

• Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Referências

1. Ben Green and Terence Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions,8 Apr 2004.
2. Terence Tao, Tamar Ziegler, The primes contain arbitrarily long polynomial progressions
3. Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Arquivado em 22 de fevereiro de 2008, no Wayback Machine.

Ligações externas

• «Artigo no MathWorld news sobre a demonstração» 

• Portal da matemática