Integração por substituição trigonométrica

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria ${\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}$

É fácil de perceber, que as funções ${\displaystyle sen^{2}\theta }$ e ${\displaystyle cos^{2}\theta }$ podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

$${\displaystyle cos^{2}\theta \ =1-sen^{2}\theta }$$

$${\displaystyle sen^{2}\theta \ =1-cos^{2}\theta }$$

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por ${\displaystyle cos^{2}\theta }$ $${\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}$$

$${\displaystyle {\frac {sen^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}+{\frac {cos^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}={\frac {1}{cos^{2}\theta }}}$$

Resultando em:

$${\displaystyle tan^{2}\theta \ =sec^{2}\theta \ -1}$$

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

$${\displaystyle 1-sen^{2}\theta \ =cos^{2}\theta }$$ para ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$, sendo a uma constante positiva.

$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta }$$ para ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$, com a > 0

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta }$$ para ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$, sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

$${\displaystyle u=\phi \ (x)}$$

$${\displaystyle x=\phi \ ^{-1}(u)}$$ , ${\displaystyle dx=[\phi \ ^{-1}]'(u)du}$

$${\displaystyle \int f(x)dx=\int f(u)[\phi \ ^{-1}]'(u)du}$$

Exemplo

Considere a integral ${\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx}$ usando a substituição ${\displaystyle x=4sen\theta }$, obtêm-se ${\displaystyle dx=4cos\theta \ d\theta }$

$${\displaystyle \int {\sqrt {16(1-sen^{2}\theta )}}4\ cos\theta \ d\theta }$$ $${\displaystyle 16\int \ cos^{2}\theta \ d\theta }$$

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes $${\displaystyle u=cos\theta ,dv=cos\theta \ d\theta }$$ $${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int sen^{2}\theta \ d\theta }$$ $${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int 1\ d\theta -\int cos^{2}\theta \ d\theta }$$ $${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}$$

Voltando a equação original $${\displaystyle 16\int cos^{2}\theta \ d\theta =16\left({\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}$$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo ${\displaystyle \theta }$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a ${\displaystyle \theta }$ igual a ${\displaystyle x}$, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo ${\displaystyle \theta }$ valerá ${\displaystyle {\sqrt {16-x^{2}}}}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações: $${\displaystyle cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}}$$ $${\displaystyle sen\theta ={\frac {x}{4}}}$$

O ângulo ${\displaystyle \theta }$ pode ser expresso como${\displaystyle arcsen{\frac {x}{4}}}$ Obtendo assim como resposta final:

${\displaystyle {\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{arcsen{\frac {x}{4}}}+C}$