Teste de Abel

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n}\,}$ converge
• {b_n} é monótona e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b_{\infty }\neq \pm \infty \,}$

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência ${\displaystyle (b_{n})}$ é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=c}$ e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}-c=0}$ onde ${\displaystyle b_{n}-c}$ também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}-c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Somando ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ em ambos os lados:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)+c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)}$ converge, pelo Critério de Dirichlet e ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge, pela hipótese,

Logo, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ também converge.

Exemplos

1) A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1+1/n)^{n}}{n}}\,}$ é convergente. Neste caso, defina:

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}}$

e

${\displaystyle b_{n}=\left(1-1/n\right)^{n}}$

A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}\,}$ é convergente pelo teste da série alternada e a sequência ${\displaystyle b_{n}\,}$ é monótona, decrescente e converge para ${\displaystyle e^{-1}\,}$.

2) A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1-1/n)^{n}}{n}}\,}$ é também convergente; é tal como em 1), sendo que ${\displaystyle b_{n}=\left(1+1/n\right)^{n}}$ é crescente, convergindo para ${\displaystyle e\,}$.

- Note-se que a natureza de 2) não pode ser justificada pelo teste da série alternada, ao contrário da série do exemplo 1);

de facto, ${\displaystyle {\frac {(-1+1/n)^{n}}{n}}\,=(-1)^{n}\times {\frac {\left(1-1/n\right)^{n}}{n}}}$ e, atendendo a que ${\displaystyle \left(1-1/n\right)^{n}}$ é monótona decrescente, podemos concluir que ${\displaystyle b_{n}={\frac {\left(1-1/n\right)^{n}}{n}}}$ também é decrescente, sendo de termos positivos e convergindo para zero.

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