Grupo de renormalização

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson^[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ descrita pela ação clássica ${\displaystyle S(\phi ,g)}$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\int dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências ${\displaystyle 0\leq |k|\leq \infty }$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

${\displaystyle |k|\leq \Lambda _{UV}}$

Chamaremos esse campos de ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e diremos que ele é o campo na escala ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Então

${\displaystyle \phi _{0}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

Também chamaremos a constante de acoplamento de ${\displaystyle g_{0}}$. A função partição sobre os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é praticamente constante em distâncias menores que ${\displaystyle \Delta x\simeq 1/\Lambda _{UV}}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo ${\displaystyle 1/\Lambda _{UV}\rightarrow 0}$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita ${\displaystyle \mu }$ regulares.^[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

${\displaystyle 0\leq |k|\leq \mu }$ e ${\displaystyle \mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}$

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

${\displaystyle \phi _{B}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \mu }dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

${\displaystyle \phi _{A}(x)=\int _{\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que ${\displaystyle \mu }$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos ${\displaystyle \leq \mu }$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$. Ela pode ser obtida integrando sobre ${\displaystyle \phi _{A}(x)}$ na integral de trajetória, mantendo ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$ variável

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi _{A},g_{0})}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{B}+\phi _{A},g_{0})}}$

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia ${\displaystyle \mu }$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo ${\displaystyle \Lambda _{UV}/\mu \rightarrow \infty }$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

${\displaystyle g_{0}=g_{0}(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})}$

${\displaystyle \phi _{0}(x)=Z(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})\phi (x)+\phi _{A}(x)}$

Aqui, ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi ,g,\mu )}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

é regular no limite para o contínuo. Os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes ${\displaystyle g_{0}}$ na escala de corte ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar ${\displaystyle \mu }$ e variar ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Nós fixamos os campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ numa escala ${\displaystyle \mu }$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes nuas ${\displaystyle g_{0}}$. Se pudermos mover ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia ${\displaystyle \mu }$ (descrito por ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover ${\displaystyle \mu }$, fixando ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ e consequentemente ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e ${\displaystyle g_{0}}$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de ${\displaystyle \mu _{1}}$ para ${\displaystyle \mu _{2}}$, as constantes de acoplamento mudarão de ${\displaystyle g_{1}=(g_{0},{\frac {\mu _{1}}{\Lambda _{UV}}})}$ para ${\displaystyle g_{2}=g(g_{0},{\frac {\mu _{2}}{\Lambda _{UV}}})}$, onde ${\displaystyle g(g_{0},{\frac {\mu }{\Lambda _{UV}}})}$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre ${\displaystyle \mu _{1}\leq |k|\leq \mu _{2}}$, podemos repetir o raciocínio e escrever ${\displaystyle g_{2}=g(g_{1},{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}})}$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

${\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {d}{d\mu }}g(g_{1},{\frac {\mu }{\mu _{1}}})|_{g_{1}=g,\mu _{1}=\mu }}$

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik^[3] e o campo vetorial ${\displaystyle \beta (g)}$ é chamado função beta da constante de acoplamento ${\displaystyle g}$.

Notas e referências

1. Wilson (1975). «The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem». Rev. Mod. Phys. 47 (4). 773 páginas  Parâmetro desconhecido |gfirst= ignorado (ajuda)
2. Há maneiras de regularizar uma teoria sem quebrar a invariância por simetrias clássicas. Em particular, o método de regularização dimensional é comum na prática.
3. C. G. Callan, K. Symanzik (1970). «Small Distance Behavior in Field Theory and Power Counting.». Comm. Math. Phys. 18. 227 páginas