Equação diferencial homogênea

Entre os principais tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem encontramos as equações diferenciais homogêneas. O termo homogêneas provem do fato que o lado direito da equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. Para tais equações, uma substituição de variável conveniente permite reescrever a equação diferencial como sendo uma equação de variáveis separáveis. E então, resolve-se a equação obtida usando o método da separação de variáveis. Por fim, volta-se a variável original de forma a obter a solução em termos da variável primitiva. Essa metodologia, descrita a seguir, permite resolver todas as equações diferenciais ordinárias incluídas nessa classe.

Definição

Seja ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ um domínio. Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dita estar na forma simétrica ou na forma diferencial, se ela é da forma

${\displaystyle P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0}$, em que ${\displaystyle P,Q\in C(\Omega )}$.

Uma função ${\displaystyle h(t,y)}$ é dita ser homogênea de grau ${\displaystyle m}$, se, ${\displaystyle \forall \ \xi >0}$,

${\displaystyle h(\xi t,\xi y)=\xi ^{m}h(t,y)}$.

Uma equação diferencial ordinária é dita ser homogênea de primeira ordem se ela é da forma

${\displaystyle P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0,}$

em que ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ são funções homogêneas de mesmo grau.

Exemplos

1) ${\displaystyle tdy+\left(t{\sqrt {{\frac {y}{t}}-1}}-y\right)dt=0.}$

Neste caso ${\displaystyle P(t,y)=t{\sqrt {{\frac {y}{t}}-1}}-y}$ e ${\displaystyle Q(t,y)=t}$ são homogêneas de grau 1.

2) ${\displaystyle y'={\frac {(2t+y)y}{t^{2}}}.}$

Como ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}}$, segue que

${\displaystyle P(t,y)=-(2t+y)y}$ e ${\displaystyle Q(t,y)=t^{2}}$. Note que ambas são homogêneas de grau 2.

Existência e unicidade

Se ${\displaystyle P,Q,\partial _{y}P,\partial _{y}Q\in C(\Omega )}$ e ${\displaystyle Q(t,y)\neq 0}$ em ${\displaystyle \Omega }$. Então a equação homogênea de primeira ordem acima com a condição inicial ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$, tem única solução para qualquer escolha de ${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega }$^{[1] [2]}.

Resolvendo uma equação homogênea de primeira ordem

Faz-se a mudança de variável ${\displaystyle y=tu}$ em que ${\displaystyle u}$ é uma função desconhecida de ${\displaystyle t}$. Logo, ${\displaystyle dy=dtu+tdu}$ ^[3] .

Daí, ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=u+t{\frac {du}{dt}}}$. Além disso, ${\displaystyle P(t,y)=P(t,tu)=t^{m}P(1,u)}$ e ${\displaystyle Q(t,y)=Q(t,tu)=t^{m}Q(1,u)}$.

Substituindo na equação homogênea de primeira ordem obtemos

${\displaystyle t^{m}P(1,u)dt+t^{m}Q(1,u)(udt+tdu)=0}$

${\displaystyle (P(1,u)+uQ(1,u))dt+tQ(1,u)du=0}$

ou

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=-{\frac {P(1,u)+uQ(1,u)}{Q(1,u)}}{\frac {1}{t}}}$.

Que é uma equação separável. A qual pode ser resolvida usando o método da separação de variáveis.

Referências

1. Brauer, Fred Brauer, John A. Nohel (1967). Ordinary Differential Equations A First Course. Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc. p. 24 
2. Sotomayor, Jorge Sotomayor (1979). Lições de equações diferenciais ordinárias 1 ed. Rio de Janeiro: IMPA. p. 12 
3. Dantas, Edmundo Menezes Dantas (1970). Elementos de Equações Diferenciais 1 ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. p. 17