Distribuição de Poisson

Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.^[1]

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!}$

onde

• e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! é o fatorial de k,
• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

Ver artigo principal: Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

${\displaystyle P[N(t)=K]={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}},\,\!}$

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)^{[carece de fontes?]}.

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades

Média

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente^[2]:

	Em linguagem matemática	Em Português
	${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\mathbb {P} \left[X=k\right]}$	Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!\right]}$	No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
	${\displaystyle E\left[X\right]={\begin{matrix}\underbrace {0\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{0}}{0!}},\,\!\right]} \\k=0\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}},\,\!\right]} \\k=1\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {2\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}},\,\!\right]} \\k=2\end{matrix}}+...}$	Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever ${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]}$
	Como ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda \left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]}$	Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]}$	Tomamos a substituição acima e tiramos a constante ${\displaystyle \lambda }$ para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à ${\displaystyle \lambda *1}$.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\lambda ^{k}}{(k)!}}\right]}$	Nova transformação para facilitar os cálculos...
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\lambda ^{0}}{(0)!}}+{\frac {\lambda ^{1}}{(1)!}}+{\frac {\lambda ^{2}}{(2)!}}+{\frac {\lambda ^{3}}{(3)!}}+...\right]}$	Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para ${\displaystyle e^{\lambda }}$
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }}$	Obtemos ${\displaystyle e^{-\lambda }e^{\lambda }=e^{0}=1}$
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda }$	Como queríamos demonstrar

Variância (${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$, ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ ou ${\displaystyle \sigma ^{2}}$)

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a ${\displaystyle \lambda }$, como podemos demonstrar.

Sabendo que ${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}$ e ${\displaystyle {E}(X)=\lambda }$

Calculamos o segundo momento ${\displaystyle {E}(X^{2})}$, para uma variável aleatória discreta:

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\,\!\right]}$ Expandindo o somatório

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=1^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}}\,\!\right]+2^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}}\,\!\right]+3^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{3!}}\,\!\right]+...+n^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}\,\right]+...\!}$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{1}}\right]+2\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{2}}\right]+3\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{2!}}\,\!\right]+...+n\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{(n-1)!}}\,\right]+...\!}$ Colocando ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle e^{-\lambda }}$ em evidência

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda }{\biggl [}1+2{\lambda }+3{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+n{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}+...{\biggr ]}}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }n\left[{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}\right]}$ fazendo ${\displaystyle n-1=k}$ e ${\displaystyle n=k+1}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[k+1\right]}\left[{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]}}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}}\right]}$ Série de Taylor Função Exponencial ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$ converge para ${\displaystyle e^{\lambda }}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ Expandindo o somatório

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{0{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}}+{1{\frac {\lambda ^{1}}{1!}}}+{2{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}}+{3{\frac {\lambda ^{3}}{3!}}}+...+{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{\lambda }+{\lambda ^{2}}+{\frac {\lambda ^{3}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}+e^{\lambda }}\right]}$ Colocando ${\displaystyle \lambda }$ em evidência

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {\biggl (}{{1}+{\lambda }+{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}{\biggr )}+e^{\lambda }}\right]}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ fazendo ${\displaystyle k-1=n}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ Série de Taylor Função Exponencial ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}}$ converge para ${\displaystyle e^{\lambda }}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }{\biggl [}\lambda {e^{\lambda }+e^{\lambda }}{\biggr ]}}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda ^{2}}{e^{\lambda }}+{e^{-\lambda }{\lambda }{e^{\lambda }}}}$

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={\lambda ^{2}}+{\lambda }}$

Substituindo ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ e ${\displaystyle {E}(X)}$ em ${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\lambda ^{2}}+{\lambda }-{\lambda ^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\lambda }}$

Soma de variáveis

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\,}$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$ e as variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{i}}$ são estatisticamente independentes, então

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,}$ também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$.

Por exemplo, ${\displaystyle X_{1}}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e ${\displaystyle X_{2}}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\lambda _{i}=1,2+3=4,2}$.

Intervalo de confiança

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012).^[3] Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:

${\displaystyle F_{low}=(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}}$

${\displaystyle F_{upp}=(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}}$

em seguida, os limites do parâmetro ${\displaystyle \lambda }$ são dadas por: ${\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T}$.

Exemplos

A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:

• Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
• Defeitos por unidade de área;
• Acidentes por unidade de tempo;
• Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
• Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
• Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição de Poisson

Referências

1. Haight, Frank A. (1967). Handbook of the Poisson Distribution. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-33932-8  A referência emprega parâmetros obsoletos |Título= (ajuda)
2. Sayan Mukherjee. Lecture 6.5.- Poisson processes. In: PROBABILITY AND STATISTICS IN ENGINEERING. http://www.isds.duke.edu/courses/Fall06/sta113/poisson.pdf
3. V, Guerriero (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr 

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