Curva de Bézier

Exemplo de uma curva de Bézier cúbica

A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape, Krita e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi estruturada a partir do algoritmo de Paul de Casteljau, da Citroën, em 1957, e foi formalizada na década de 60.^[1]

Descrição

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)}$

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos ${\displaystyle n+1}$ pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$ são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de ${\displaystyle (t+(1-t))^{2}}$ usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio ${\displaystyle (t+(1-t))^{3}}$ usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle ${\displaystyle B_{i}}$ podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

${\displaystyle P_{in}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

${\displaystyle {B}(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{in}(t)*{B}_{i}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}*{B}_{i}}$

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que ${\displaystyle t\in \Re ,0\leq t\leq 1}$, ${\displaystyle B_{i}}$ é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.^[2]

Curva de Bézier Linear

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{0}+t\mathbf {B} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$

Curva de Bézier Quadrática

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {B} _{0}+2t(1-t)\mathbf {B} _{1}+t^{2}\mathbf {B} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Curva de Bézier Cúbica

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {B} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {B} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {B} _{2}+t^{3}\mathbf {B} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Referências

1. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
2. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também

• Binómio de Newton
• Superfícies de Bézier

Ligações externas

• «The math behind the Bézier curve» (em inglês) 

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