Constante de Apéry

Em matemática, a constante de Apéry é um curioso número que ocorre em situações variadas. É definido como o número ${\displaystyle \zeta (3)}$,

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\ldots }$

onde ζ é a função zeta de Riemann. Ele tem um valor aproximado de

${\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots }$ (sequência A002117 na OEIS)

A recíproca deste número é a probabilidade de que qualquer três números inteiros positivos, escolhidos aleatoriamente, sejam primos entre si.

γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binário	1.001100111011101...
Decimal	1.2020569031595942854...
Hexadecimal	1.33BA004F00621383...
Fração contínua	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$ Note que esta fração contínua não é periódica.

Teorema de Apéry

Este nome foi dado em homenagem a Roger Apéry (1916 - 1994), que em 1977 provou-o ser irracional. Este resultado é conhecido por teorema de Apéry. A prova original é complexa e de difícil compreensão, e provas mais simplificadas foram encontradas posteriormente, utilizando os polinômios de Legendre.

Ainda não se sabe se a Constante de Ápery é um número irracional do tipo "transcendente" [como Pi, o número euleriano e, a constante de Liouville L, ...] ou do tipo "algébrico" [assim como Phi - o número de ouro simbolizado como φ - , a raíz quadrada de 2, ...].

Referências

• V. Ramaswami, Notes on Riemann's ζ-function, (1934) J. London Math. Soc. 9 pp. 165–169.
• Roger Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), (1979) Astérisque, 61:11-13.
• Alfred van der Poorten, A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report.,(1979) Math. Intell., 1:195-203.
• Simon Plouffe, Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, (1998)
• Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places, (undated).
• Xavier Gourdon & Pascal Sebah, The Apéry's constant: z(3)
• «wolframs page on zeta 3» 

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