Wychowanek Łokomotiwu Jarosław. Od 2011 do 2015 przez cztery sezony grał w rozgrywkach MHL w barwach drużyny Łoko, w tym w ostatnim sezonie pełnił rolę kapitana. W międzyczasie, w KHL Junior Draft w 2012 został wybrany przez macierzysty Łokomotiw, a w drafcie NHL z 2015 został wybrany przez Columbus Blue Jackets. Od 2014 do 2017 był zawodnikiem seniorskiego zespołu Łokomotiwu w lidze KHL. W marcu 2015 przedłużył kontrakt o dwa lata[1]. W czerwcu 2017 został zawodnikiem SKA Sankt Petersburg[2]. Po wyeliminowaniu SKA z play-off sezonu KHL (2018/2019) w kwietniu 2019 kontrakt Gawrikowa został rozwiązany, po czym zawodnik podpisał dwuletni kontrakt wstępujący z klubem Columbus Blue Jackets na występy NHL, uzyskując prawo gry w fazie play-off edycji NHL 2018/2019 (jednocześnie SKA zachował prawa do zawodnika na występy w KHL)[3][4][5]. W listopadzie 2020 przedłużył kontrakt z CBJ o trzy lata[6].