Twierdzenie Tellegena (zasada Tellegena) – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii obwodów, stosowane do analizy dowolnych obwodów skupionych. Zostało po raz pierwszy sformułowane w 1952 roku przez holenderskiego elektrotechnika Bernarda Tellegena[1].
Treść twierdzenia
W każdym układzie skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy układu jest w każdej chwili równa zeru.
czyli:
gdzie K to liczba elementów skupionych, a
to moc chwilowa pobierana przez k-ty element[2].
Ze względu na tożsamość powyższego równania względem czasu
prawdziwa jest również zależność
Niech prądy gałęziowe
oraz napięcia gałęziowe
spełniają kolejno pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa, a
to potencjały poszczególnych węzłów. Wówczas napięcie pomiędzy węzłami
i
jest określone zależnością
![{\displaystyle u_{kl}=v_{k}-v_{l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ddf4f4b1a4f672a43be890784670dd675cd7b3)
Moc chwilową prądu
można opisać zależnością
![{\displaystyle p_{kl}=i_{kl}u_{kl}=i_{kl}(v_{k}-v_{l})=i_{kl}v_{k}-i_{kl}v_{l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7243c9ce3939ba5c1638d4608e76d27a63842c)
Wiedząc, że
![{\displaystyle i_{kl}=-i_{lk},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b11a93c467b046d05b6057f6e5d81506b5258b)
otrzymujemy
![{\displaystyle i_{kl}u_{kl}=i_{kl}v_{k}+i_{lk}v_{l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b69d827ced805d3e0470a5cca0de7dda53fdba4)
Analogicznie postępujemy dla wszystkich składników sumy
Grupujemy składniki postaci
Na podstawie I prawa Kirchhoffa
![{\displaystyle \sum \limits _{j}i_{kj}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2c12c300c0fe97aad909f2f9478050b7db9bb8)
a więc
![{\displaystyle \sum u_{m}i_{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271b7947501a556b7b600309fbbc0e735c659a52)
czyli
![{\displaystyle \sum p_{m}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fea0851672d7706fd03d6bae5fdb40d4fd624d)
Można też wykazać, że spośród trzech twierdzeń – obu praw Kirchhoffa oraz twierdzenia Tellegena, każde z nich można wyprowadzić z dwóch pozostałych[2].
Wnioski
Twierdzenie Tellegena stanowi zasadę zachowania mocy i energii w układach skupionych. W danej chwili suma mocy pobieranych przez elementy takiego układu jest równa mocy oddawanej przez pozostałe elementy. Zależność
można sprowadzić do zasady zachowania energii, całkując to wyrażenie w przedziale
[2]
![{\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}dt=\sum \limits _{k=1}^{K}\int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}p_{k}dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d512c71706d8c4dc5cce71b1358904cc47b16a00)
Zastosowanie
Twierdzenie Tellegena jest jednym z najogólniejszych twierdzeń w teorii obwodów. Może być stosowane do opisu jakichkolwiek obwodów zbudowanych z elementów skupionych[3], tj. takich, których właściwości i zachowanie można opisać tylko funkcjami czasu[2]. Po uogólnieniu może być również wykorzystywane w analizie topologicznej w innych niż elektronika dziedzinach nauki np. w chemii, fizyce czy biologii[4].
Przypisy
Wielkości fizyczne |
|
---|
Elementy |
|
---|
Obwód elektryczny |
|
---|
Metody obliczeniowe |
|
---|
Czwórniki |
|
---|