Metoda potencjałów węzłowych

Metoda potencjałów węzłowych – metoda analizy obwodów elektrycznych o stałych współczynnikach (układów SLS), wynikająca z praw Kirchhoffa.

Polega na wprowadzeniu tzw. potencjałów węzłowych, czyli napięć między węzłem odniesienia (0) a pozostałymi węzłami sieci elektrycznej. Przyjęcie potencjałów węzłowych automatycznie powoduje spełnienie napięciowego prawa Kirchhoffa w obwodzie. Pozostają więc do ułożenia równania wynikające z prądowego prawa Kirchhoffa w liczbie = liczba węzłów obwodu – 1. Napięcia każdej gałęzi (fragmentu obwodu między dwoma węzłami) da się zapisać jako różnica potencjałów w węzłach na końcach gałęzi. Przyrównanie tej różnicy do napięcia gałęzi obliczonego za pomocą prądu gałęzi i jej elementów elektrycznych (źródeł, impedancji) daje wzór na prąd gałęzi w zależności od potencjałów na jej końcach. Tak przedstawione prądy gałęzi należy zsumować zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa, dla każdego węzła oprócz węzła (0). Powstanie wówczas układ równań w liczbie (liczba węzłów obwodu – 1) na szukane potencjały węzłowe obwodu.

Ostatecznie równania formułuje się według przepisu: po lewej stronie potencjał danego węzła mnożony przez sumę konduktancji dochodzących do niego pomniejszony o potencjały sąsiednich węzłów pomnożone przez konduktancji pomiędzy nimi. Po prawej stronie równania umieszcza się sąsiadujące źródła prądowe (lub napięciowe podzielone wówczas przez rezystancje(por: Twierdzenie Nortona)), przy czym kierunek dodatni przyjmuje się wtedy, gdy strzałka źródła jest do węzła.

Przepis ten umożliwia łatwe ułożenie równań zarówno dla prądu stałego i zmiennego, o ile nie występują w obwodzie źródła sterowane. Macierz admitancji jest wtedy symetryczna. Jednak w przypadku występowania źródeł sterowanych należy zacząć obliczenia od prądowych równań Kirchhoffa.

Przykład

Przykład obwodu z jedną niewiadomą, potencjałem V₁

Jedynym nieznanym potencjałem w obwodzie jest ${\displaystyle V_{1}.}$ Do węzła połączone są trzy gałęzie, a co za tym idzie należy znaleźć trzy wartości prądów. Przyjęto, że kierunki prądów płynące w gałęziach będą skierowane od badanego węzła.

1. Prąd płynący przez ${\displaystyle R_{1}{:}}$ ${\displaystyle (V_{1}-V_{S})/R_{1}}$
2. Prąd płynący przez ${\displaystyle R_{2}{:}}$ ${\displaystyle V_{1}/R_{2}}$
3. Prąd płynący ze źródła ${\displaystyle I_{S}{:}}$ ${\displaystyle -I_{S}}$

Zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa:

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$

Równanie jest przekształcane w celu obliczenia niewiadomej V₁:

${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}}$

Ostatecznie nieznany potencjał jest obliczany poprzez wstawienie danych liczbowych do równania. Po określeniu potencjału ${\displaystyle V_{1}}$ można określić prądy płynące w obwodzie.

${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}}$

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika.
• K. Mikołajuk: Podstawy analizy obwodów energoelektronicznych.