Podprzestrzeń komplementarna

Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle X}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle E}$ o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle Y,}$ iż

${\displaystyle E=X\oplus Y,}$

tj. ${\displaystyle X+Y=E}$ oraz ${\displaystyle X\cap Y=\{0\}.}$ Rozkład przestrzeni ${\displaystyle E}$ na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń ${\displaystyle X}$ przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle E}$ jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego ${\displaystyle P\colon E\to E}$ spełniającego warunek ${\displaystyle P^{2}=P}$ (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$ oraz ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle X}$ przestrzeni ${\displaystyle E}$ jest ${\displaystyle \lambda }$-komplementarna, gdy istnieje rzut ${\displaystyle P\colon E\to E}$ o normie ${\displaystyle \leqslant \lambda .}$

Przykłady

• Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha, której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta^[1].
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli ${\displaystyle E}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz ${\displaystyle X}$ jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c₀, to ${\displaystyle X}$ jest 2-komplementarna w ${\displaystyle E.}$ Stałej 2 nie można poprawić.
• Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie^[2][3], że żadna podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ izomorficzna z ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest komplementarna.
• W przestrzeniach ℓ_p dla ${\displaystyle p\in [1,2)\cup (2,\infty )}$ istnieją podprzestrzenie izomorficzne z ${\displaystyle \ell _{p},}$ które nie są komplementarne^[4][5][6].
• Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy Schaudera^[7].
• W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }]}$ na liczbie porządkowej ${\displaystyle \omega ^{\omega }+1}$ istnieje podprzestrzeń izomorficzna z ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }],}$ która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu ${\displaystyle C(K),}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że ${\displaystyle C(K)}$ nie jest izomorficzne z ${\displaystyle c_{0}}$ (w tym wypadku ${\displaystyle C(K)}$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }]}$).

Przypisy

1. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. „Israel J. Math.”, 19 (1971), s. 263–269.
2. R.S. Phillips, On linear transformations, „Transactions of the American Mathematical Society”, 48 (1940), s. 516–541.
3. A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c₀, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 47 (1941), s. 938–947.
4. J. Bourgain, A counterexample to a complementation problem, „Compositio Math”. 43 (1981), s. 133–144.
5. H.P. Rosenthal. On the subspaces of L^p (p > 2) spanned by sequences of independent random variables. „Israel J. Math.” 8 (1970), s. 273–303.
6. G. Bennett, L.E. Dor, V. Goodman, W.B. Johnson, C.M. Newman, On uncomplemented subspaces of L_p, 1 < p < 2, „Israel. Math.” 26 (2) (1977), s. 178–187.
7. S.J. Szarek, A Banach space without a basis which has the bounded approximation property. „Acta Math.” 159 (1987), s. 81–98.