Operator liniowy nieciągły – operator liniowy (przekształcenie liniowe), który nie jest ciągły. Odwzorowania tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż operatory liniowe stanowią klasę funkcji w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta), to mimo wszystko należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej.
- Jeśli
są skończeniewymiarowymi przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym ciałem), to każdy operator liniowy
jest ciągły. Dowód:
- Każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana
(ogólniej, przestrzeń liniowo-topologiczna) nad
lub
jest liniowo homeomorficzna odpowiednio z
lub
gdzie
to wymiar przestrzeni
Dowód wystarczy zatem przeprowadzić dla przypadku, gdy
lub
– w obydwu wypadkach jest on identyczny.
- Niech
będzie bazą przestrzeni
złożoną z wektorów jednostkowych. Z algebry liniowej wiadomo, że jeżeli
to wartość
można przedstawić w postaci
![{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {f} (\mathbf {e} _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fb845e19751cad2b2c45bdc10624155b57ddd0)
- Nierówność trójkąta dla normy pociąga, iż
![{\displaystyle {\big \|}\mathbf {f} (\mathbf {x} ){\big \|}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {f} (\mathbf {e} _{i})\right\|\leqslant \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|{\big \|}\mathbf {f} (\mathbf {e} _{i}){\big \|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1d2804d80c9ec7b953a340e2bfcf700feeadb4)
- Niech
Z faktu
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leqslant C\|\mathbf {x} \|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80b4bb7eb380bff4c5c89f2a788ddd70f2c316f)
- dla pewnego
wynika, że wszystkie normy określone w przestrzeni skończeniewymiarowej są równoważne. Ostatecznie:
![{\displaystyle {\big \|}\mathbf {f} (\mathbf {x} ){\big \|}\leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leqslant CM\|\mathbf {x} \|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba986b1865c808977b03dc868ce012aba87a715)
- Powyższe oszacowanie pokazuje, że
jest operatorem ograniczonym, a zatem jest ciągły.
- Jeżeli
jest przestrzenią nieskończeniewymiarową, to powyższy dowód załamie się, gdyż nie ma gwarancji istnienia supremum
Jeżeli
jest przestrzenią zerową
to jedynym przekształceniem między
a
jest przekształcenie zerowe, które jest ciągłe w trywialny sposób. We wszystkich innych przypadkach, gdy
jest nieskończeniewymiarowa, a
nie jest zerowa, można znaleźć przekształcenie nieciągłe z
w ![{\displaystyle Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c668649af47a30006f93c9847d61fee8d9ffb61)
Przykład konkretny
Stosunkowo łatwo skonstruować przykłady operatorów liniowych nieciągłych w przestrzeniach niezupełnych; operator liniowy może rosnąć nieograniczenie na ciągu Cauchy’ego wektorów liniowo niezależnych, który nie ma granicy. Obrazowo: operatory liniowe mogą nie być ciągłe, ponieważ przestrzeń jest, w pewnym sensie, „dziurawa”.
Niech
będzie przestrzenią funkcji różniczkowalnych określonych na przedziale
z normą supremum, tzn.
![{\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}{\big |}f(x){\big |}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b155ffb5705a5b1d2918c83f4d2d3a62a52e0f9a)
Przekształcenie pochodnej w punkcie określone na
o wartościach rzeczywistych, dane wzorem
![{\displaystyle \operatorname {T} (f)=f'(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db50e7d34498947cf915c870b30fa9c892307b3a)
jest liniowe, lecz nie jest ciągłe. Rzeczywiście, niech dany będzie ciąg
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09aab1c694eb33b2f69960ec23b8e7680eadba1a)
dla
Ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do funkcji stale równej zeru, ale
![{\displaystyle \operatorname {T} (f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to \infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8f56e512ac5f11b3228f88af52d796bc39ce9c)
przy
zamiast
jak by to było w przypadku operatora ciągłego. Ponieważ
ma wartości rzeczywiste, jest więc funkcjonałem liniowym na
(elementem przestrzeni sprzężonej algebraicznie). Przekształcenie liniowe
które przypisuje każdej funkcji jej pochodną jest podobnie nieciągłe. Należy zwrócić uwagę, iż choć operator pochodnej nie jest ciągły, to jest domknięty.
Wyżej istotnie korzystano z faktu, iż rozważana przestrzeń nie była zupełna.
Przykład niekonstruktywny
Ciało liczb rzeczywistych traktowane jako przestrzeń liniowa nad ciałem liczb wymiernych ma, na mocy aksjomatu wyboru, bazę nazywaną bazą Hamela (niektórzy matematycy bazą Hamela nazywają bazę dowolnej przestrzeni liniowej). Liczby 1 i
, jako elementy przestrzeni liczb rzeczywistych nad ciałem liczby wymiernych, są liniowo niezależne. Z twierdzenia Steinitza wynika, że można znaleźć taką bazę Hamela, która zawiera te elementy. Na mocy twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie wynika, że dowolną funkcję określoną na elementach bazy Hamela można przedłużyć do przekształcenia liniowego określonego na
Niech
będzie bazą Hamela taką, że
oraz niech
będzie określone następująco:
oraz
dla elementów zbioru
różnych od
Niech ponadto
będzie takim przekształceniem liniowym, że
Jeżeli
jest ciągiem liczb wymiernych, zbieżnym do
to zachodzi
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\overline {f}}(q_{n})=\lim _{n\to \infty }q_{n}f(1)=\lim _{n\to \infty }q_{n}=\pi \neq 0=f(\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2689f62968269e31f1f9f6d335c0d9f86f0b2332)
Funkcja
jest przykładem nieciągłego odwzorowania
-liniowego. Można pokazać, że odwzorowanie
-liniowe jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest mierzalne[1].
Ogólne twierdzenie o istnieniu
Można dowieść istnienia nieciągłych operatorów liniowych w przypadku ogólnym; nawet, gdy rozważana przestrzeń jest zupełna. Niech
i
będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem
gdzie
lub
Bez zmniejszania ogólności można założyć, że
jest nieskończeniewymiarowa, a
nie jest zerowa. Dowód polega na wskazaniu nieciągłego funkcjonału liniowego
co będzie pociągać istnienie nieciągłego operatora liniowego
danego wzorem
gdzie
jest dowolnym niezerowym wektorem przestrzeni
W przypadku, gdy
jest nieskończeniewymiarowa, wykazanie istnienia funkcjonału liniowego, który nie jest ciągły, sprowadza się do skonstruowania przekształcenia
które nie jest ograniczone. Niech dany będzie więc ciąg
liniowo niezależnych wektorów
Niech dla każdego
dany będzie operator
![{\displaystyle \operatorname {T} (\mathbf {e} _{n})=n\|\mathbf {e} _{n}\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2cbced188a2af9e2fef22c63a7ad3e4cd399796)
Kolejny krok polega na uzupełnieniu tego ciągu liniowo niezależnych wektorów do bazy przestrzeni liniowej
i określenie
w pozostałych wektorach bazy jako równego zeru. Tak zdefiniowany
można jednoznacznie rozszerzyć do operatora liniowego na
a ponieważ nie jest on ograniczony, to nie może być ciągły.
Skorzystanie z faktu, iż dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić do bazy, jest niejawnym użyciem aksjomatu wyboru, co nie było konieczne w poprzednim przykładzie.
Aksjomat wyboru
Jak pokazano wyżej, ogólne twierdzenie o istnieniu nieciągłych operatorów liniowych wymaga użycia aksjomatu wyboru (AC). Istotnie, nie ma niekonstruktywnych przykładów nieciągłych operatorów liniowych określonych w dziedzinie zupełnej (jak na przykład przestrzeni Banacha). W analizie zakłada się zwykle aksjomat wyboru (jako jeden z aksjomatów teorii mnogości ZFC), dlatego praktykujący analitycy mogą stwierdzić, iż na wszystkich nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowo-topologicznych można określić nieciągłe przekształcenia liniowe.
Z drugiej strony, w 1970 roku Robert M. Solovay przedstawił model teorii mnogości, w którym wszystkie podzbiory liczb rzeczywistych są mierzalne[2] (np. w ZF + aksjomat determinacji wszystkie podzbiory prostej są mierzalne). Oznacza to, że nie istnieją nieciągłe rzeczywiste funkcje liniowe. Oczywiście brak w tym modelu AC.
Wynik Solovaya pokazuje, że założenie, iż na wszystkich nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych można zdefiniować nieciągłe przekształcenia liniowe jest zbędne, gdyż istnieją szkoły analizy, które przyjmują bardziej konstruktywistyczny punkt widzenia. Przykładowo H.G. Garnir poszukując tzw. „przestrzeni marzeń” (przestrzeni liniowo-topologicznych, w których każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną jest ciągłe) przyjął w toku poszukiwań aksjomaty ZF + zasadę DC + BP (reguła wyborów zależnych, DC, jest słabszą formą AC, zaś własność Baire’a, BP, jest zaprzeczeniem silnego AC), aby udowodnić twierdzenie o wykresie domkniętym Garnira-Wrighta, które mówi między innymi, że dowolny operator liniowy z F-przestrzeni w przestrzeń liniowo-topologiczną jest ciągłe. Przy odpowiednich założeniach, zgodnie z duchem ekstremalnego konstruktywizmu, zachodzi twierdzenie Ceitina, które mówi, iż każde przekształcenie jest ciągłe. Takie zapatrywania przyjmuje zdecydowana mniejszość matematyków.
Ostateczną konkluzją jest to, iż nie można zrezygnować z AC: wszystkie nieciągłe przekształcenia liniowe określone na zupełnych przestrzeniach liniowo-metrycznych są niekonstruowalne. Dodatkowym, płynącym stąd wnioskiem, jest fakt, że konstruowalnych operatorów nieciągłych, takich jak operator pochodnej, nie można określić na całej przestrzeni zupełnej.
Operatory domknięte
Wiele powszechnie występujących nieciągłych operatorów liniowych jest domkniętych, jest to klasa operatorów, które dzielą pewne wspólne cechy z operatorami ciągłymi. Ma sens analogiczne pytanie, czy wszystkie operatory liniowe określone na danej przestrzeni są domknięte. Twierdzenie o wykresie domkniętym zapewnia, że wszystkie wszędzie określone na przestrzeni zupełnej operatory domknięte są ciągłe, a więc w kontekście nieciągłych operatorów domkniętych trzeba zgodzić się na operatory, które nie są określone w każdym punkcie.
Tak więc niech
ma dziedzinę
Wykres
operatora
który nie jest wszędzie określony, będzie miał różne od niego domknięcie
Jeżeli domknięcie wykresu samo jest wykresem pewnego operatora
to
nazywa się domykalnym, a
nazywa się domknięciem
Nie wszystkie operatory liniowe określone na zbiorze gęstym są domykalne: można udowodnić, że na każdej nieskończeniewymiarowej przestrzeni unormowanej można określić niedomykalny operator liniowy. Dowód wymaga aksjomatu wyboru, stąd w ogólności jest niekonstruktywny, nie mniej jednak jeżeli
nie jest zupełna, to istnieją przykłady konstruowalne.
Istotnie, można podać przykład operatora liniowego, którego wykres ma domknięcie będące całym
Taki operator nie jest domykalny. Niech
będzie przestrzenią funkcji wielomianowych
a
będzie przestrzenią funkcji wielomianowych
Są one podprzestrzeniami odpowiednio przestrzeni
oraz
są więc unormowane. Niech dany będzie operator
przypisujący funkcji wielomianowej
określonej na zbiorze
tę samą funkcję określoną na zbiorze
Z twierdzenia Stone’a-Weierstrassa wynika, że wykres tego operatora jest gęsty w
co daje przykład w pewnym sensie maksymalnie nieciągłego operatora liniowego (por. funkcja nigdzieciągła). Należy zauważyć, że
nie jest zupełna, co musi być prawdą, skoro można skonstruować taki operator.
Trywialne przestrzenie sprzężone
Jeżeli
jest przestrzenią liniową nad ciałem
to zbiór
wszystkich przekształceń liniowych przestrzeni
jest niepusty (dowolną funkcję określoną na wektorach bazy Hamela tej przestrzeni można przedłużyć do przekształcenia liniowego na całej przestrzeni). Istnieje jednak szeroka klasa przestrzeni liniowo-topologicznych, których przestrzeń sprzężona topologicznie
tzn. przestrzeń wszystkich ciągłych przekształceń liniowych tej przestrzeni w ciało skalarów, złożona jest tylko z przekształcenia zerowego (przestrzeń ta jest trywialna) – przykładem przestrzeni o takiej własności są przestrzenie Lp dla
Przypisy
- ↑ G. de Barra, Measure Theory and Integration, Ellis Horwod Limited, Nowy Jork,
1981.
- ↑ Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. 92 (1970) s. 1–56.
Bibliografia
- Constantin Costara, Dumitru Popa, Exercises in Functional Analysis, Springer, 2003. ISBN 1-4020-1560-7.
- EricE. Schechter EricE., Handbook of Analysis and its Foundations, San Diego, CA.: Academic Press, 1997, ISBN 0-12-622760-8, OCLC 175294365 . Brak numerów stron w książce