László Lékai urodził się we wsi Zalalövő w komitacie Zala w rodzinie garncarza i zduna. Przyszły prymas uczęszczał do gimnazjum w Nagykanizsa, a następnie do gimnazjum pijarów w Veszprémie, gdzie po maturze zgłosił się do seminarium duchownego Davidicum. Od 1928 był studentem Collegium Germanicum et Hungaricum w Rzymie. 28 października1934 został w Rzymie wyświęcony na kapłana. Studia teologiczne ukończył 28 października1934, uzyskując tytuł doktora. Początkowo był wikariuszem w miejscowości Ukk, a potem został przełożonym do spraw oświatowych w seminarium duchownym Davidicum w Veszprémie, gdzie od 1937 był również profesorem. Jednocześnie z rozwiązywaniem coraz trudniejszych zadań diecezjalnych ks. László Lékai pozostawał proboszczem w Balatonlelle.
W 1944 ks. László Lékai został radcą biskupim i proboszczem w Murakeresztúr. W latach 1944–1948 był już sekretarzem biskupa, m.in. w latach 1944–1945Józsefa Mindszentyego. Kilka dni po zajęciu Węgier przez III Rzeszę razem z biskupem Mindszentym ks. László Lékai został uwięziony przez Gestapo w jednym z najsurowszych więzień na Węgrzech – w Sopronkőhida, skąd uwolniono ich dopiero w lipcu po interwencji regenta Miklósa Horthyego. Po przewrocie Szálasiego27 listopada1944 roku ks. Lékai i biskup Mindszenty znów zostali uwięzieni w Sopronkőhida.
Po zakończeniu działań wojennych ks. László Lékai wrócił do swojej parafii w Balatonlelle i do wcześniejszych obowiązków kurialnych. Po uwięzieniu kardynała Mindszentyego ks. Lékai został odsunięty na bok i z kurii biskupiej w Veszprémie wrócił do Balatonlelle. Po latach oceniano w prasie: „potrafił znaleźć wspólne słowo z każdym wiernym i dlatego ludzie tłumnie przychodzili do niego ze swoimi troskami”. W 1972 został mianowany administratorem apostolskim diecezji veszprémskiej, a wkrótce po tym jej koadiutorem i biskupem tytularnymGirus Tarasii. Wtedy uruchomił wydział korespondencyjny Akademii Teologicznej w Budapeszcie.
12 lutego1976 papież Paweł VI mianował bpa László Lékaia arcybiskupem budapeszteńsko-ostrzyhomskim, a 24 maja1976 abp Lékai otrzymał kapelusz kardynalski. Jego tytularnym kościołem w Rzymie został znajdujący się poza murami kościół pod wezwaniem św. Teresy. Jako prymas abp László Lékai, mimo stałego nacisku ze strony komunistycznych władz, trzymał się linii prymasa Mindszentyego. Brał udział w obu konklawe w 1978 roku. To jemu przypadło w udziale uzyskać od papieża Pawła VI pomieszczenie w grocie pod bazyliką św. Piotra w Rzymie, gdzie dwadzieścia pięć lat później papież Jan Paweł II 8 października1980 poświęcił kaplicę Najświętszej Pani Węgier (Magyarok Nagyasszonya Kápolna).
