Lemat Auerbacha

Lemat Auerbacha – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ istnieje taka baza ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\},}$ że

${\displaystyle \|e_{1}\|=\ldots =\|e_{n}\|=\|e_{1}^{*}\|=\ldots =\|e_{n}^{*}\|=1,}$

gdzie symbolami ${\displaystyle e_{1}^{*},\dots ,e_{n}^{*}}$ oznaczone są elementy (funkcjonały) bazy sprzężonej do wyjściowej bazy ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$ Bazy o tej własności nazywane są bazami Auerbacha.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Auerbacha, polskiego matematyka, który udowodnił najpierw przypadek dwuwymiarowy w swojej rozprawie doktorskiej napisanej we Lwowie^[1], a następnie w przypadku ogólnym^[2] (dowód Auerbacha przypadku ogólnego nie zachował się). Alternatywne dowody podali M.M. Day^[3] i A.E. Taylor^[4]. Pojęcie układu Auerbacha uogólnia bazy o powyższej własności na przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

Dowód Taylora

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią unormowaną. Dla danego układu biortogonalnego ${\displaystyle (y_{j},y_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}}$ rozważmy funkcję

${\displaystyle V(z_{1},\dots ,z_{n})=\det[\langle z_{i},y_{j}^{*}\rangle ]_{i,j=1,\dots ,n}\quad (\|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1).}$

Funkcja ${\displaystyle V}$ jest ciągła. Ponieważ przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru

${\displaystyle B_{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})\in X^{n}\colon \|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1\}.}$

Ze zwartości ${\displaystyle B_{n}}$ oraz ciągłości funkcji ${\displaystyle V}$ wynika istnienie takiego punktu ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in B_{n},}$ że

${\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{V(z_{1},\dots ,z_{n})\colon (z_{1},\dots ,z_{n})\in B_{n}\}.}$

W szczególności,

${\displaystyle \|x_{1}\|=\ldots =\|x_{n}\|=1.}$

Dla każdego ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ definiujemy funkcjonał ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ wzorem

${\displaystyle \langle x,x_{i}^{*}\rangle ={\frac {V(x_{1},\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_{n})}{V(x_{1},\dots ,x_{n})}}\quad (x\in X).}$

Z ${\displaystyle n}$-liniowości wyznacznika wynika, że ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ jest funkcjonałem liniowym, ponadto ${\displaystyle (x_{j},x_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}}$ jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że

${\displaystyle \|x_{1}^{*}\|=\ldots =\|x_{n}^{*}\|=1.}$

Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie

Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie:

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią unormowaną oraz niech ${\displaystyle F}$ będzie jej ${\displaystyle n}$-wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) ${\displaystyle P\colon X\to E}$ o normie co najwyżej ${\displaystyle n.}$

Dowód. Istotnie, niech ${\displaystyle \{f_{1},\dots ,f_{n}\}}$ będzie bazą przestrzeni ${\displaystyle F}$ o tej własności, że

${\displaystyle \|f_{1}\|=\ldots =\|f_{n}\|=\|f_{1}^{*}\|=\ldots =\|f_{n}^{*}\|=1,}$

gdzie ${\displaystyle \{f_{1}^{*},\dots ,f_{n}^{*}\}}$ oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów ${\displaystyle f_{i}^{*}}$ daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału ${\displaystyle \varphi _{i}^{*}\in X^{*}}$ o normie 1. Niech

${\displaystyle Px=\sum _{i=1}^{n}\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\quad (x\in X).}$

Wówczas ${\displaystyle P}$ jest operatorem liniowym na ${\displaystyle X,}$ którego obraz zawiera się w ${\displaystyle F.}$ Ponadto, ${\displaystyle Px=x}$ dla każdego ${\displaystyle x\in F.}$ Norma ${\displaystyle P}$ nie przekracza ${\displaystyle n}$ ponieważ ${\displaystyle P}$ jest sumą ${\displaystyle n}$ operatorów o normie 1. Rzeczywiście,

${\displaystyle \|\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\|\leqslant \|x\|\ \|\varphi _{i}\|\ \|f_{i}\|=\|x\|,}$

co kończy dowód.

Przypisy

1. H. Auerbach, O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych, Uniwersytet Lwowski, 1930.
2. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932, uwagi do rozdziału VII.
3. M.M. Day, Polygons circumscribed about closed convex curves, „Trans. Amer. Math. Soc.” 62 (1947), s. 315–319.
4. A.E. Taylor, A geometric theorem and its application to biorthogonal systems, „Bull. Amer. Math. Soc.” 53 (1947), s. 614–616.

Bibliografia

• Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, s. 146.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, s. 16, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 .
• ReinholdR. Meise ReinholdR., Einführung in die Funktionalanalysis, DietmarD. Vogt, Braunschweig: Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, OCLC 27775675 . Brak numerów stron w książce
• Przemysław Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts. Cambridge Studies in Advancod Mathematics, Cambridge University Press, vol. 25, 1991, s. 75.