Sztuka rozpoczął ściganie w kartingu w wieku 4 lat na torze halowym w Tychach w kategorii Bambino, a potem na torze otwartym w Wodzisławiu Śląskim[4]. Jego pierwszy start w zawodach miał miejsce w Czechach, zaś w wieku 9 lat zaczął startować we Włoszech[5]. Polak występował w kolejnych kategoriach kartingowych: Baby-60, Mini-60, Junior-Rok Ok-Junior[6].
Niemiecka i Włoska Formuła 4
Pierwszą szansę na testy w bolidzie Formuły 4 miał w 2019 roku, w wieku 13 lat. Ze względu na niski wzrost (150 cm) dostosowano samochód do jego warunków fizycznych, dokładając specjalne pedały. Testy były zadowalające, przez co zwrócił uwagę zespołów Formuły 4. W sezonie 2020 planował występować jeszcze w kartingu, ale przez pandemię COVID-19 wziął udział tylko w czterech wyścigach kartingowych i ze względu na odwołanie reszty sezonu, rozpoczął przygotowania do debiutanckiego sezonu Formuły 4[4].
16 maja 2021 roku zadebiutował we Włoskiej Formule 4 na torze Circuit Paul Ricard, zostając tym samym najmłodszym w historii polskim kierowcą wyścigowym w serii Formuły 4[5]. W sześciu z siedmiu rund reprezentował zespół AS Motorsport, zaś w szóstej rundzie na torze Mugello jeździł w barwach Iron Lynx. Przez cały sezon plasował się w drugiej dziesiątce klasyfikacji i nie zdobył punktów[7]. Po zakończeniu sezonu był najszybszy w testach na torze Misano[5].
W sezonie 2022 roku Sztuka dołączył do zespołu Ralfa Schumachera i Gerharda Ungara, US Racing[8]. Startował głównie we Włoskiej Formule 4, gdzie stanął na podium cztery razy, w tym dwa razy na najwyższym stopniu podium na 19 startów. Zwycięstwo odniósł w trzecim wyścigu pierwszej rundy na torze Imola, co było pierwszym zwycięstwem Polaka w tej serii[9] oraz w trzecim wyścigu piątej rundy na Red Bull Ringu. Zdobył 162 punkty, co pozwoliło mu na zajęcie szóstej lokaty w klasyfikacji generalnej. Ponadto Sztuka zanotował gościnny występ w pięciu wyścigach Niemieckiej Formuły 4, gdzie dwukrotnie zajął drugą lokatę i łącznie w pięciu wyścigach dwóch rund zdobył 64 pkt i 10. miejsce w klasyfikacji generalnej[7].
Pod koniec sezonu 2022 zmagał się z problemami finansowymi, które niemal nie przerwały jego startów we Włoskiej Formule 4. Pomimo zainteresowania zespołów Formuły 3 jego przejście do wyższej serii wyścigowej ograniczał w tamtym momencie brak sponsora w kluczowym momencie sezonu[9]. W kwietniu 2023 roku dołączył do Akademii ORLEN Team otrzymując wsparcie sponsorskie PKN ORLEN[10].
Sezon 2023 Sztuka kontynuował we Włoskiej Formule 4[11], gdzie rozpoczął od zwycięstwa w pierwszym wyścigu pierwszej rundy na torze Imola[12]. Po udanym otwarciu sezonu nie ukończył dwóch kolejnych wyścigów ze względu na awarie bolidu. Problemy miał również w drugiej rundzie, na torze Misano, gdzie był dwukrotnie czwarty i nie ukończył drugiego wyścigu. W następnych dwóch rundach stawał na drugim stopniu podium zarówno na belgijskim torze Spa-Francorchamps jak i włoskiej Monzie. Od piątej rundy zmagań Sztuka zyskał tempo i zaczął odnosić kolejne zwycięstwa. Na francuskim torze Paula Ricarda wygrał wszystkie trzy wyścigi, w tym do jednego z nich ruszał z pole position, i zajmował trzecią lokatę w klasyfikacji generalnej. Niepokonany był również w przedostatniej rundzie na Mugello, gdzie zdobył trzy zwycięstwa, trzy pole position i trzy najszybsze okrążenia[13]. Przy gorszych rezultatach dotychczasowego lidera serii Arvida Lindblada, Sztuka zdołał odrobić 62,5 pkt przewagi Brytyjczyka i objął prowadzenie w klasyfikacji generalnej o 1,5 pkt. W ostatniej rundzie na torze Vallelunga Sztuka ponownie zdobył trzy pole position i po trzecim miejscu w sobotnim wyścigu zapewnił sobie tytuł mistrzowski w przedostatnim wyścigu sezonu[14]. Pomimo protestu ze strony zespołu Prema Racing o nieregulaminowe zachowanie przy restarcie wyścigu za samochodem bezpieczeństwa, Sztuka otrzymał pięciosekundową karę, która nie zmieniła końcowego rezultatu[15]. Sztuka zakończył sezon zwycięstwem w ostatnim wyścigu. Łącznie zdobył 8 najszybszych okrążeń, 9 pole position, 9 zwycięstw (w tym sześć z rzędu) i został pierwszym Polakiem, który zdobył tytuł mistrzowski Włoskiej Formuły 4[7].
Formuła Winter Series
Sezon 2023 rozpoczął od startu w czterorundowej, pierwszej edycji serii Formuły Winter Series, również w zespole US Racing. Sztuka zdominował serię, wygrywając pięć na sześć pierwszych wyścigów, zaliczając cztery pole position, cztery najszybsze okrążenia, co umożliwiło mu zdobycie tytułu zwycięzcy bez konieczności startu w czwartej, ostatniej rundzie. Był to pierwszy tytuł w karierze Polaka[16].
Formuła 3
Po zdobyciu tytułu mistrza Włoskiej Formuły 4 Polak był jedynym zawodnikiem z czołówki serii, który nie miał zaplanowanych testów w bolidzie Formuły 3. Ostatecznie, pod koniec października 2023, Sztuka odbył dwudniowe testy na torze Imola w zespole MP Motorsport. Miał 13. czas w stawce 30 kierowców[17].
8 listopada 2023 szef Scuderia AlphaTauri, Peter Bayer, ogłosił na spotkaniu z polskimi dziennikarzami, że Sztuka dołączył do programu dla młodych kierowców zespołu Red Bull Racing, Red Bull Junior Team[18]. 25 listopada 2023 Kacper oficjalnie potwierdził tę wiadomość na swoich mediach społecznościowych[19].
19 stycznia 2024 został kierowcą zespołu MP Motorsport na sezon 2024[20][21].