Funkcja licząca liczby pierwsze

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Funkcja πfunkcja używana w teorii liczb[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od [1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].

Właściwości[1]

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to:

  • dla

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji

  • dla
  • dla

Ponadto:

gdzie jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna

Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję w postaci:

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność:

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

Ostatni składnik to stała równa

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)

Kolejne przybliżenia funkcji (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić za pomocą funkcji Riemanna:

gdzie jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Riemanna:

Zobacz też

Przypisy

  1. a b c d Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  2. a b Prime counting function: Primary definition [online], functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13].
  3. G.F.B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse., listopad 1859 (niem.).

Read other articles:

Мічуа Народився невідомом.ХунзаПомер 1490с. Чоконта·загибель у битвіНаціональність муїскПосада сакеТермін 1470—1490 рокиПопередник ТомагатаНаступник Кемуінчаточа Мічуа або Мінчуа (? —1490) — саке (володар) держави Хунза у 1470-1490 роках, намагався встановити гегемонію над...

 

Local chief executive Provincial Governor of IfugaoIncumbentJerry U. Dalipogsince June 30, 2019AppointerElected via popular voteTerm length3 yearsInaugural holderGualberto LumauigFormation1966Websitehttps://ifugao.gov.ph/ The governor of Ifugao (Filipino: Punong Panlalawigan ng Ifugao), is the chief executive of the provincial government of Ifugao. Lieutenant Governors and Deputy Governors of the Sub-province of Ifugao (1901-1966) Governor[1] Term 1 Lt. Levi Case (First Lieutenan...

 

SamhanHangul삼한 Hanja三韓 Alih AksaraSamhanMcCune–ReischauerSamhan Samhan Bagian dari seri mengenai Sejarah Korea Prasejarah Zaman Jeulmun Zaman Mumun Kuno Gojoseon 2333 SM - 108 SM Jin Proto Tiga Kerajaan Buyeo Goguryeo Okjeo Dongye Samhan Mahan Byeon Jin Empat Jun di Dinasti Han Tiga Kerajaan Goguryeo 37 SM – 668 M Baekje 18 SM – 660 M Silla 57 SM – 935 M Konfederasi Gaya 42 M - 562 M Zaman Negara Utara-Selatan Silla Bersatu 668–935 Balhae 698–926 Tiga Kerajaan Akhir Baekje...

Conference of Regions and Autonomous Provinces Conferenza delle Regioni e delle Province AutonomeLeadershipPresidentMassimiliano Fedriga, League since 9 April 2021 StructureSeats2141111463Political groups List   Lega (5)   FI (5)   PD (4)   FdI (3)   C! (1)   SVP (1)   PSdAz (1)   UV (1) 516Political groups List   Centre-right (16)   Centre-left (5) Websitewww.regioni.itFootnotes The Conference of Regions and Autonomous Provinces, original...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2015) أنجيلا وأصدقائها البلد المملكة المتحدة عدد المواسم 2 عدد الحلقات 180 حلقة الإنتاج مدة العرض 90 دقيقة بث لأول مرة في 9 نوفمبر 2009 بث لآخر مرة في 2 يوليو 2010 IMDb.com صفح...

 

Das Architekturbüro Hart & Lesser wurde von den Architekten Gustav Hart (1864–1929) und Alfred Lesser (1871–1915) um 1900 in Berlin gegründet und existierte bis zum Tod Lessers im Jahr 1915. Möbelhaus Trunck, Kronenstraße 10, Berlin-Mitte Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Bauten 2.1 In Berlin 2.2 Außerhalb Berlins 3 Literatur 4 Weblinks 5 Einzelnachweise Geschichte Der Architekt Gustav Hart aus der Berliner Nostizstraße[1] und der Baumeister Alfred Lesser aus der Berline...

Wladimir Majakowski Wladimir Wladimirowitsch Majakowski (russisch Владимир Владимирович Маяковский, wiss. Transliteration Vladimir Vladimirovič Maâkovskij; * 7.jul. / 19. Juli 1893greg. in Bagdadi, Gouvernement Kutaissi, Russisches Kaiserreich, heute Georgien; † 14. April 1930 in Moskau) war ein sowjetischer Dichter und ein führender Vertreter des russischen Zweigs des Futurismus. Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Nachleben 3 Darstellung Majakowskis in ...

 

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Гомологія. Принцип гомології: Біологічні взаємовідношення (показані кольорами) кісток передніх кінцівок хребетних було використано Чарлзом Дарвіном як аргумент на користь еволюції Гомоло́гія (від дав.-гр. ὅμοιος ...

 

Монік Monique Ім'я при народженні Шаммара Абдул-ХаалікНародження 20 січня 1975(1975-01-20)[1][2] (48 років)  Сан-Дієго, Каліфорнія, СШАГромадянство  СШАДіяльність порноакторкаПеріод 1996 — тепер. часМови рідна: англійська володіння: англійськаВолосся чорне[d]Зріст 157...

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Janeiro de 2020)  Nota: Para o músico cabo-verdiano, veja Luís Morais (músico). Luiz Moraes Informações pessoais Nome completo Luiz Moraes Data de nascimento 23 de agosto de 1930 Local de nascimento São Paulo, São Paulo, Brasil...

 

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (juillet 2017). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références » En pratique : Quelles sources sont attendues ? Co...

 

Syb van der Ploeg Syb van der Ploeg in 2011 Algemene informatie Volledige naam Syb van der Ploeg Geboren 15 juni 1966 Geboorteplaats Dokkum Land Nederland Werk Jaren actief 1985 – heden Beroep Zangercomponistsongwriter Instrument(en) Zang Label(s) Foreign Media Music Officiële website(en) Discogs-profiel(en) IMDb-profiel(en) MusicBrainz-profiel Actief in De Kast Functie(s) Leadzangersongwriter In deze formatie 1992–20022006 – heden Portaal    Muziek Van der Ploeg tijdens...

1963 studio album by Miriam MakebaThe World of Miriam MakebaStudio album by Miriam MakebaReleased1963VenueWebster Hall (New York City)StudioRCA Studio A (New York City)Genre World music African music LabelRCA VictorProducerHugo & LuigiMiriam Makeba chronology The Many Voices of Miriam Makeba(1962) The World of Miriam Makeba(1963) The Voice of Africa(1964) Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllMusic[1]Encyclopedia of Popular Music[2] The World of Miriam Ma...

 

Wakil Bupati Ogan Komering UluPetahanaLowongsejak 9 Maret 2021Masa jabatan5 tahunDibentuk2000Pejabat pertamaH. Edy Yusuf, S.H, M.M.Situs webwww.okukab.go.id Berikut ini adalah daftar Wakil Bupati Ogan Komering Ulu dari masa ke masa. No Wakil Bupati Mulai Jabatan Akhir Jabatan Prd. Ket. Bupati 1 H.Edy YusufS.H., M.M. 2000 2003 1 [Ket. 1] Ir. H.Syahrial OesmanM.M. Jabatan kosong 2003 2005   H.Edy YusufS.H., M.M. 2 Drs. H.Yulius Nawawi 2005 2008 2 [Ket. 2] Jabatan koson...

 

U.S. National Historic Landmark in St. Louis City, Missouri Gateway ArchAlternative namesGateway to the WestSt. Louis ArchGeneral informationArchitectural styleStructural expressionism[1]Location100 Washington AvenueSt. Louis, Missouri, 63102, U.S.Coordinates38°37′28″N 90°11′05″W / 38.6245°N 90.1847°W / 38.6245; -90.1847Construction startedFebruary 12, 1963; 60 years ago (1963-02-12)CompletedOctober 28, 1965; 58 years ...

Name of the Hindu deity Vishnu Prsnigarbha (Sanskrit: पृश्निगर्भ, IAST: Pṛśnigarbha) is a name of the Hindu deity Vishnu. According to the Bhagavata Purana, it is the name accorded to one of the births of Vishnu. The name is a Sanskrit compound word consisting of the terms pṛśni and garbha, literally meaning, Prśni's embryo.[1] Birth The Prajapati Sutapa and his wife Prśni worshipped Vishnu with such devotion that he himself appeared before them for grantin...

 

Ne pas confondre la Villa Vassilieff – anciennement Musée du Montparnasse – avec la villa Marie-Vassilieff, la voie privée dans laquelle se trouve le musée. Musée du MontparnasseLe musée dans l'ancien atelier de Marie Vassilieff.Informations généralesType Musée d'artOuverture 28 mai 1998Fermeture 2015Site web web.archive.org/web/20140725082939/www.museedumontparnasse.netLocalisationPays  FranceCommune ParisAdresse 21 avenue du MaineCoordonnées 48° 50′ 36,3″...

 

2004 British filmSix ShooterDirected byMartin McDonaghWritten byMartin McDonaghProduced byKenton AllenMia BaysStarringBrendan GleesonRúaidhrí Conroy David WilmotCinematographyBaz IrvineEdited byNicolas GasterProductioncompaniesFilm4Screen IrelandMissing in Action FilmsFunny Farm FilmsFantastic FilmsDistributed byThe WorksRelease date 14 October 2004 (2004-10-14) (Cork International Film Festival) Running time27 minutesCountriesUnited KingdomIrelandLanguageEnglish Six Shoo...

1982 Canadian drama film Hard FeelingsVHS coverDirected byDaryl DukeWritten byJohn HerzfeldW.D. RichterBased onHard Feelings novel by Don BredesProduced byHarold GreenbergStarringCarl MarotteCharlayne WoodardGrand BushCinematographyHarry MakinEdited byTony LowerMusic byMicky ErbeMaribeth SolomonProductioncompanyAstral Bellevue PathéDistributed byAstral Films (Canada)20th Century Fox (US)Release dateDecember 10, 1982Running time105 minutesCountryCanadaLanguageEnglish Hard Feelings (also known...

 

FollonicaKomuneCittà di FollonicaFollonicaLokasi Follonica di ItaliaKoordinat: 42°55′08.76″N 10°45′42.76″E / 42.9191000°N 10.7618778°E / 42.9191000; 10.7618778Negara ItaliaWilayahToskanaProvinsiGrosseto (GR)Pemerintahan • Wali kotaAndrea BeniniLuas • Total55,84 km2 (2,156 sq mi)Ketinggian4 m (13 ft)Populasi (31 Agustus 2017) • Total21.339 • Kepadatan3,8/km2 (9,9/sq mi)D...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!