Grę w piłkę nożną rozpoczął w MŠK Žilina, gdzie początkowo szkolony był do gry na lewej obronie, po czym przesunięty został na pozycję bramkarza[1]. W wieku 16 lat podpisał z tym klubem zawodowy kontrakt[1]. W 2010 roku rozpoczął występy w zespole rezerw i wkrótce po tym został przez trenera Pavla Hapala włączony do składu pierwszej drużyny[2]. W przerwie zimowej sezonu 2012/13 wypożyczono go na okres jednego roku do czwartoligowego klubu ŠK Svätý Jur[3]. W 2015 roku występował na wypożyczeniu w FK Pohronie, gdzie zaliczył 31 spotkań na poziomie 2. Ligi[1][4]. Pod koniec tego samego roku, nie rozegrawszy żadnego oficjalnego meczu w barwach Žiliny, postanowił opuścić zespół. W styczniu 2016 roku odbył testy w FK Senica, po których podpisał dwuipółletnią umowę[4][5]. 2 kwietnia 2016 zadebiutował w słowackiej ekstraklasie w zremisowanym 2:2 spotkaniu z MFK Skalica. Z nadejściem sezonu 2017/18, po tym jak Michal Šulla zmuszony był poddać się operacji ramienia, zaczął pełnić rolę podstawowego bramkarza[6].
W styczniu 2018 roku Plach przeniósł się do Piasta Gliwice, podpisując trzyletni kontrakt[7]. 24 sierpnia 2018 zadebiutował w Ekstraklasie w wygranym 3:1 meczu przeciwko Cracovii i rozpoczął od tego momentu regularne występy[8]. W sezonie 2018/19 wywalczył z Piastem pierwsze w historii klubu mistrzostwo Polski[9][10]. Na 25 rozegranych spotkań 12 razy zachował on czyste konto i otrzymał wyróżnienie dla najlepszego bramkarza rozgrywek[9][11]. W lipcu 2019 roku zadebiutował w europejskich pucharach w meczu z BATE Borysów (1:1) w kwalifikacjach Ligi Mistrzów 2019/20.
