Élie Cartan urodził się w Dolomieu w departamencie Savoie. W 1888 rozpoczął w Paryżu studia w École Normale Supérieure. Po uzyskaniu doktoratu w 1894 wykładał w Montpellier i Lyonie, a następnie otrzymał w roku 1903 posadę profesora w Nancy. W 1909 rozpoczął wykłady w Paryżu i otrzymał tam katedrę profesorską w 1912. Przeszedł na emeryturę w 1942. Zmarł w Paryżu. Jego synem był matematyk francuski Henri Cartan.
Działalność naukowa
Według opinii samego Cartana, wyrażonej w Notice sur les travaux scientifiques, głównym obszarem jego badań była teoria grup Liego. W początkowym okresie Cartan pracował nad zespolonymi prostymi algebrami Liego, porządkując wcześniejsze dokonania Friedricha Engela i Wilhelma Killinga. W efekcie podzielił proste algebry Liego na cztery główne (nieskończone) rodziny i pięć przypadków szczególnych.
Wprowadził także pojęcie grupy algebraicznej, które rozwinięcia doczekało się dopiero w latach 50. XX wieku.
Na tych podstawach — teorii grup Liego i formalizmie form różniczkowych — oparty jest jego obszerny wkład w matematykę. Idee Cartana, zawarte w 186 pracach publikowanych od 1893 do 1957 roku, (w tym pewne ogólne techniki, takie jak teoria układu ruchomego) w sposób stopniowy przenikały do głównego nurtu badań matematycznych.
W Notice sur les travaux scientifiques Cartan podzielił swoją aktywność na 15 obszarów, które we współczesnej terminologii przedstawiają się następująco:
