Konveks mengde

Konveks mengde.

En ikke-konveks mengde

En konveks mengde er en mengde i et vektorrom der et hvert linjestykke mellom to punkt i mengden er inneholdt fullt og helt i mengden.

Omkretsen til en konveks mengde i planet R² vil alltid være rett eller krumme ut fra mengden.

En mengde som ikke er konveks sies å være ikke-konveks.

Formell definisjon

La S være en undermengde av et vektorrom og la x og y være to vektorer i S. Mengden S er konveks dersom

${\displaystyle ax+(1-a)y\in S}$

for alle verdier av koeffisienten a mellom 0 og 1.

Eksempler

En sirkel i planet er konveks. En månesigd er ikke-konveks.

I vektorrommet av reelle funksjoner av reell variabel er den følgende undermengden konveks:

${\displaystyle \{f(t)|0\leq f(t)\leq 5\}}$

Egenskaper

• Et hvert underrom av et vektorrom er konveks.
• Snittet av to konvekse mengder er konveks.
• Summen av to konvekse mengder er konveks.

Konveks hull

Det konvekse hullet til en vilkårlig undermengde S av et vektorrom er den minste konvekse mengden som inneholder S. Det konvekse hullet til S skrives som Co(S) eller Conv(S).

Den minste mengden betyr i denne sammenhengen at Co(S) ikke inneholder noen ekte undermengder som inneholder S.

Det konvekse hullet til en mengde vil alltid eksistere.

Det konvekse hullet til S er snittet av alle konvekse mengder som inneholder S.

Konvekse reelle funksjoner

En konveks funksjon

En reell funksjon er konveks dersom mengden over grafen til funksjonen er konveks.

Se også

• Konveks

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.