Plan (matematikk)

To plan i det tre-dimensjonale rommet

Et plan eller en plan flate er i matematikk et geometrisk objekt med den egenskapen at en rett linje gjennom to vilkårlige punkt i planet er inneholdt fullt og helt i planet. Planet har uendelig utstrekning i to uavhengige retninger, men har null tykkelse. Et plan er et spesialtilfelle av en flate.

Den bestemte forma «planet» viser ofte til hele det todimensjonale rommet E². Adjektivet «plan» brukes også for å beskrive et geometrisk objekt som ligger helt og fullt i et plan, som for eksempel en plan kurve. Plangeometri er euklidsk geometri begrenset til E², i motsetning til for eksempel romgeometri eller sfærisk geometri.

Det komplekse planet er en representasjon i E² av mengden av komplekse tall.

Formell definisjon

Det eksisterer flere ulike alternative og likeverdige måter å beskrive et plan i det tre-dimensjonale euklidske rommet på matematisk. For eksempel kan et plan defineres som samlingen av punkt (x,y,z) som oppfyller ligningen^[1]

${\displaystyle ax+by+cz=d.\,}$

Her representerer a, b, c og d konstanter. Vektoren n = (a,b,c) er en normal til planet. Denne ligningen kan lett skrives om som a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0 der vektoren r₀ = (x₀,y₀,z₀) angir et bestemt punkt i planet. Ekvivalent kan man skrive

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0\,}$

der r = (x,y,z) angir et vilkårlig punkt i planet.

Alternativt kan planet defineres ved parameterforma

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\mathbf {r} _{0}+u\mathbf {r} _{1}+v\mathbf {r} _{2}\,}$

Parametrene u og v er vilkårlige reelle tall. Vektorene r₁ og r₂ er antatt å være lineært uavhengige. Planet sies å være utspent av de to vektorene.

Et plan er generelt entydig bestemt dersom en kjenner tre punkt i planet som ikke ligger på en rett linje. En ligningen for planet er da gitt ved determinantligningen

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

To plan som ikke er parallelle, vil skjære hverandre langs en rett linje. Vinkelen mellom planet kalles den dihedrale vinkelen og er bestemt ved de to normalene n₁ og n₂ til planene.

Spesiell plan

Tangentplan til en kuleflate

Et tangentplan til en flate i rommet er et plan som har minst ett punkt felles med flaten og der alle rett linjer gjennom dette punktet er tangenter til flaten.^[1]

Osculasjonsplanet eller smygplanet til en romkurve kan uformelt defineres som planet gjennom tre påfølgende punkt på kurven. Dette planet er utspent av tangenten og normalen til kurven.

Et symmetriplan deler et legeme i to like symmetriske deler. Et legeme i rommet som har et symmetriplan sies å være refleksjonssymmetrisk

Et plan som inneholder origo definerer et vektorrom. Plan som ikke inneholder origo definerer et affint rom.

Det kartesiske planet er lik R² definert med et kartesisk koordinatsystem.

Det komplekse planet

Argand-diagram for det komplekse tallet z = a + ib.

Ethvert komplekst tall z = (a,b) = a + ib kan representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt kartesisk koordinatsystem. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen. Framstillingen i det todimensjonale planet kalles det komplekse planet, og også Argand-diagram eller et gaussisk plan.^[2]

Generaliseringer

I rom med dimensjoner n > 3 kan det legges in forskjellige underrom med dimensjoner fra 1 til n. Et slikt underrom med dimensjon 1 vil være en linje eller kurve. Er dimensjonen lik 2, snakker man om en flate. Det spesielle underrommet med dimensjon n - 1 er et hyperplan og har mange matematiske egenskaper som et vanlig plan har i tre dimensjoner.

Hyperplan

Et plan i det tredimensjonale rommet er et affint rom med dimensjon 2, som er én mindre enn rommet selv. I et n-dimensjonalt vektorrom definerer en tilsvarende et hyperplan som et affint rom med dimensjonen n - 1. Ligningen for hyperplanet er den samme som for et plan i tre dimensjoner:

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0\,}$

Mer generelt kan en også definere et hyperplan som et affint rom med dimensjon n - k.

Affine mangfoldigheter

Gitt to vilkårlige punkt i et plan i rommet og en rett linje gjennom disse, så vil planet inneholde alle punkter på linja. En undermengde av et vektorrom som har den tilsvarende egenskapen, at alle rette linjer gjennom to vektorer i undermengden selv ligger i undermengden, er et affint rom eller mangfoldighet.

Referanser

1. ^ R. Tambs-Lyche, Matematisk Analyse, Bind II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
2. J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo (1967).

Litteratur

• A. Howard, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 0-471-58742-7.