Tangent (matematikk)

Tangenten i rødt til en kurve berører den i ett punkt.

Tangent (latin tangere: berøre) er innen geometri betegnelsen på en rett linje som berører en sirkel eller en annen kurve i et punkt. Retningen til denne linjen er gitt ved en tangentvektor. Den samme linjen kan godt skjære kurven i andre punkt og vil der være en sekant.

Leibniz definerte tangenten som linjen som går gjennom to punkt på kurven i grensen der deres separasjon går mot null. Denne definisjonen er fortsatt gyldig.

Hvis en kurve i planet er gitt ved en funksjon y = f(x), vil tangenten gjennom punktet (x₀, y₀) ha en retning som er gitt ved stigningstallet k = y' (x₀). Da den deriverte av funksjonen er gitt som y'  = dy/dx, vil k være tangens til vinkelen som linjen danner med x-aksen. Den vil dermed være gitt ved ligningen y = k(x - x₀) + y₀. På lignende vis kan tangenten til en kurve i rommet bestemmes ut fra den deriverte av den funksjonen som beskriver kurven.

For flater kan man på tilsvarende måte definere tangentplan i hvert punkt på flaten. Det vil inneholde to uavhengige tangentvektorer som tilsvarer derivasjon i forskjellige retninger. På samme måte kan man betrakte tangentrom for mangfoldigheter i høyere dimensjoner.

Definisjon

Tangenten L gjennom P fremkommer fra sekanten gjennom Q i grensen der dette punktet nærmer seg P.

Tangenten til en plan kurve i et punkt P gitt ved funksjonen y = f(x) kan finnes ved å trekke en rett linje gjennom et nærliggende punkt Q på kurven og deretter betrakte denne linjen i grensen der Q nærmer seg P. Hvis dette punktet har x-koordinaten x₀ og Q har x₀ + h hvor størrelsen h er så liten at funksjonen der vil ta en nærliggende verdi, er stigningstallet til denne rette linjen gitt ved

${\displaystyle k={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}}$

Så lenge h er liten, men endelig, vil denne rette linjen være en sekant. Den er beskrevet ved ligningen

${\displaystyle y=k(x-x_{0})+f(x_{0})}$

Selve tangenten kommer frem i grensen der h → 0. Der tar stigningstallet grenseverdien

${\displaystyle k=\lim _{h\rightarrow 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}={df \over dx}(x_{0})=f'(x_{0})}$

som er den deriverte av funksjonen f(x) i punktet P. Dermed er også ligningen for tangentlinjen etablert i denne grensen. Når funksjonen har en ekstremalverdi, er stigningstallet null og tangentlinjen er horisontal i en grafisk fremstilling. Om dette er et maksimum eller minimum, bestemmes ut fra kurvens krumning som er gitt ved den andrederiverte av funksjonen.

Denne definisjonen viser tydelig den tette sammenhengen som eksisterer mellom de matematiske begrepene tangent og derivasjon som ble tydelig gjennom etableringen av matematisk analyse.^[1]

Implisitt fremstilling

Stigningstallet for tangenten til en kurve er her vist grønt når det er positivt og rødt når det er negativt. Det vises svart når tangenten er horisontal, noe som tilsvarer at funksjonen har et maksimum eller et minimum.

En kurve ofte på mer generelle måter enn ved en eksplisitt funksjon y = f(x) i planet. Den kan for eksempel beskrives ved en implitt ligning F(x,y) = 0 eller som skjæringspunktene mellom to flater i rommet.

I det første tilfellet kan tangenten bestemmes fra differensialet til funksjonen F(x,y). Det fører til at kurven må oppfylle ligningen

${\displaystyle dF=F_{x}dx+F_{y}dy=0}$

hvor de to partialderiverte er F_x = ∂F/∂x og F_y = ∂F/∂y. Stigningstallet til tangenten i et vilkårlig punkt på kurven er da gitt som

${\displaystyle k={dy \over dx}=-{F_{x} \over F_{y}}}$

Ligningen for tangentlinjen ${\displaystyle y=k(x-x_{0})+y_{0}}$ i et bestemt punkt med koordinater (x₀, y₀) blir dermed

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0}$

I det spesielle tilfelle at ${\displaystyle F(x,y)=y-f(x)}$ gjenfinner man det tidligere resultatet for denne linjen.

Som et eksempel kan man betrakte en ellipse med hovedakser a og b som kan beskrives ved den implisitte ligningen

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$

Den gir F_x = 2x/a² og F_y = 2y/b². Da punktet (x₀, y₀) ligger på ellipsen, blir derfor tangenten i dette punktet

${\displaystyle {x_{0}x \over a_{2}}+{y_{0}y \over b^{2}}=1}$

I kvadranten der begge koordinatene er (x₀, y₀) er positive, har denne tangentlinjen negativt stigningstall.^[2]

Kurver i rommet

Hvert punkt på en kurve i det tredimensjonale, euklidske rommet E³ kan beskrives ved posisjonsvektoren

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} }$

når den er parametrisert ved den kontinuerlige variable t. Tangenten i et vilkårlig punkt kan igjen defineres ved linjen mellom to nærliggende punkt på kurven i grensen der separasjonen mellom punktene går mot null. Det gir tangentvektoren

${\displaystyle \mathbf {T} =\lim _{h\rightarrow 0}{\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t) \over h}={d\mathbf {r} \over dt}}$

som gir retningen til tangentlinjen gjennom punktet.^[3]

En plan kurve har z = 0 slik at tangentvektoren er T = x'  i + y'  j når derivasjon med hensyn på parameteren vises med et merke. Dens retning tilsvarer et stigningstall k = y' /x' .

For en eksplisitt fremstilling av kurven i planet med funksjonen y = f(x) kan man velge koordinaten x som parameter. Da blir x'  = 1 og y'  = f' . Tangentvektoren forenkles i dette tilfellet til T = i + f'  j som igjen viser at den deriverte f'  gir stigningstallet til tangenten.

Tangentplan

Tangentplanet til en kule i et vilkårlig punkt.

For en flate i rommet kan man definere et tangentplan i et punkt P på lignende måte som en tangentlinje er definert for en kurve. Man kan tenke seg et plan gjennom P og to andre, nærliggende punkter. I grensen der disse punktene nærmer seg P, vil planet gå over til å bli et tangentplan. På den måten gir det den beste approksimasjon av å beskrive flaten som plan i et lite område rundt punktet P der det er definert.^[4]

Når den todimensjonale flaten ligger i et ytre, tredimensjonalt rom E³, kan hvert punkt på den angis ved vektoren

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=x(u,v)\mathbf {i} +y(u,v)\mathbf {j} +z(u,v)\mathbf {k} }$

der u og v er kontinerlige parametre. De kan betraktes som krumlinjete koordinater på flaten. Når den ene holdes konstant, vil variasjon av den andre parameteren beskrive en kurve på flaten. I hvert punkt vil den derfor ha de to tangentvektorene

${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\partial \mathbf {r} \over \partial u},\;\;\;\mathbf {e} _{v}={\partial \mathbf {r} \over \partial v}}$

som definerer et plan i dette punktet som er tangentplanet. Normalen til flaten i dette punktet er gitt ved vektorproduktet av tangentvektorene som N = e_u × e_v som står vinkelrett på begge tangentvektoren. Dermed er ligningen for tangentplanet i punktet r₀ = (x₀, y₀, z₀) gitt ved ligningen

${\displaystyle \mathbf {N} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0}$

Normalvektoren kan beregnes på flere måter. Er den implisitt gitt som løsningen av en ligning F(x,y,z) = 0, kan den finnes direkte fra gradienten som N = ∇F. Da vil dens komponenter være gitt ved de partiellderiverte N = (F_x, F_y, F_z) hvor F_x = ∂F/∂x og så videre som for normalen til en kurve gitt på implitt vis.^[3]

For eksempel, overflaten til en kule med radius a er gitt ved funksjonen F = x² + y² + z² - a². Det betyr at komponentene til normalen i et vilkår punkt på flaten er N_x = 2x, N_y = 2y og N_z = 2z. Tangentplanet i punktet (x₀, y₀, z₀) er dermed

${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=a^{2}}$

I mange tilfeller er flaten gitt eksplisitt ved en funksjon som z = f(x,y). Det tilsvarer en implisitt fremstilling med F(x,y,z) = z - f(x,y). Normalvektoren som følger fra gradienten, er N = - f_x i - f_y j + k slik at ligningen for tangentplanet blir

${\displaystyle z-z_{0}={\partial f \over \partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\partial f \over \partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$

Dette er en direkte generalisering av ligningen for tangentlinjen til en kurve i planet.

Alternativt kunne flatenormalen finnes ved å la x og y være de to parametrene som beskriver flaten ved posisjonsvektoren

${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +f(x,y)\mathbf {k} }$

De to tangentvektorene til flaten blir nå e₁ = i + f_x k og e₂ = j + f_y k. Dermed følger normalen fra kryssproduktet N = e₁ × e₂ som gir samme resultatet som gradienten.

Tangentvektorer på mangfoldigheter

Illustrasjon av en tangentvektor v i det todimensjonale tangentrommet T_xM til mangfoldigheten M. Vektoren tangerer kurven γ(t ) i punktet x.

En flate er et eksempel på en todimensjonal mangfoldighet. Dens geometriske egenskaper kan beskrives ved å legge den inn i et tredimensjonalt, euklidsk rom hvis geometri er kjent. På lignende måte kan en mangfoldighet med høyere dimensjon n beskrives som en del av et euklidsk rom med dimensjon m ≥ n + 1. Men ved en intrinsikk beskrivelse av mangfoldigheten som er uavhengig av eksistensen av et omsluttende rom, vil man unngå en slik antagelse. Det er denne situasjonen som ligger til grunn for differensialgeometrien som benyttes for tidrommet i generell relativitetsteori.^[5]

Når mangfoldigheten er utstyrt med n intrinsikke koordinater x^μ, vil en skalar funksjon F  ta en bestemt verdi F(x) = F(x¹,x², .. ,xⁿ ) i hvert punkt x. For å undersøke hvordan denne varierer i forskjellige retninger, tenker man seg en kurve på mangfoldigheten. Er den beskrevet ved en parameter t, vil den gå gjennom punkter x(t ) med koordinater (x¹(t ), x²(t ), .. , xⁿ(t )). Variasjonen av funksjonen langs denne kurven følger dermed fra kjerneregelen for derivasjon som

${\displaystyle {dF \over dt}(\mathbf {x} )={dx^{\mu } \over dt}{\partial F \over \partial x^{\mu }}(\mathbf {x} )}$

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over de to indeksene fra 1 til n. Denne deriverte er ikke noe annet enn den retningsderiverte av funksjonen F i punktet x og i en retning gitt ved vektoren v med komponenter v^μ = dx^μ/dt og som er tangentvektor til kurven.

Ved å betrakte flere slike kurver på mangfoldigheten, kan funksjonens oppførsel undersøkes i forskjellige retninger gitt ved tilsvarende tangenter til kurvene. I et vilkårlig punkt kan man derfor skrive en slik retningsderivert langs v som

${\displaystyle {dF \over dt}=v^{\mu }{\partial F \over \partial x^{\mu }}}$

Hvis man skriver dette som ${\displaystyle dF/dt=\mathbf {v} F}$, kan man identifisere tangentvektoren med operatoren

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{\mu }{\partial \over \partial x^{\mu }}}$

Det betyr at de partiellderiverte e_μ = ∂/∂x^μ har overtatt rollen som basisvektorer på mangfoldigheten. Hvis den istedet hadde blitt beskrevet som en del av et omsluttende rom, ville disse basisvektorene tilsvart tangentene til mangfoldighetens koordinatlinjer.^[6]

Tangentrom

I hvert punkt x på mangfoldigheten finnes n basisvektorer e_μ = ∂_μ som tangerer de forskjellige koordinatlinjene i dette punktet. En generell vektor på samme sted kan skrives som

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathbf {x} }=v^{\mu }(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{\mu }}$

hvor komponentene v^μ er skalare funksjoner av koordinatene til punktet. Den kan adderes til en annen vektor u = u^μ e_μ i samme punkt slik at

${\displaystyle a\mathbf {u} _{\mathbf {x} }+b\mathbf {v} _{\mathbf {x} }=(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )_{\mathbf {x} }}$

der a og b er konstanter. Tilsammen utgjør disse vektorene et lineært vektorrom i hvert punkt og kalles for mangfoldighetens tangentrom. Det kan identifiseres med Rⁿ   slik at basisvektoren e₁ har komponentene (1,0,0,...,0), e₂ = (0,1,0,...,0) og så videre.^[6]

Referanser

1. R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
2. A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk III for Realgymnaset, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
3. ^ R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse Bind II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1958).
4. D.J. Struik, Lectures on classical differential geometry, Dover Publications, New York (1961). ISBN 0-486-65609-8.
5. C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
6. ^ B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York (1966).