Максвелови равенки

Максвелови равенки — збир од парцијални диференцијални равенки кои, заедно со законот на Лоренцовата сила, се градивото на класичната електродинамика, класичната оптика, и електричните кола. Овие полиња се основата на современите електрични и комуникациони технологии. Максвеловите равенки опишуваат како електричните и магнетните полиња се создаваат и менуваат наизменично и како се однесуваат во присуство на полнежи и струи. Тие се именувани според шкотскиот физичар Џејмс Кларк Максвел, кој го објавил првичниот изглед на овие равенки во периодот меѓу 1861 и 1862 година.

Равенките имаат два попознати начини на запишување. „Микроскопски“ збир на Максвеловите равенки при што се користи вкупниот полнеж и вкупната струја, вклучувајќи ги тука и сложените полнежи и струи во материјалите на атомско ниво, се применуваат севкупно но некогаш е невозможно да се пресметаат. „Макроскопски“ збирот на Максвеловите равенки дефинира нови помошни полиња кои го опишуваат однесувањето при макроскопски големини, без да се разгледува однесувањето на атомско ниво, но потребна е употреба на параметри за карактеристичните електромагнетни својства на употребените материјали.

Поимот „Максвелови равенки“ се користи при други облици на Максвеловите равенки. На пример, време-просторни записи и се во употреба кај високоенергетската и гравитациска физика. Овие записи, опишани преку време-просторот, а не преку времето и просторот одделно, се значајни^{[белешка 1]} и во согласност со специјалната и општата релативност. Во квантната механика и аналитичката механика, се користат Максвеловите равенки засновани на електрични и магнетни потенцијали.

Од средината на XX век, се знае дека Максвеловите равенки не се точните закони на универзумот, туку се приближни пресметки за поточната и основна теорија на квантната електродинамика. Во повеќето случаи, иако квантните отстапувања на Максвеловите равенки се немерливо мали. Отстапувањата се случуваат кога честичната природа на светлината е од важност или при многу силни електрични полиња.

Запишување преку поимите за електрични и магнетни полиња

За да се опише електромагнетизмот, потребно е да се користат векторски пресметки низ целата статија. Симболите кои се затемнети претставуваат векторски големини, а симболите кои се закосени се всушност скаларни големини, освен ако не е поинаку назначено.

Со равенките се воведува електричното поле E, кое претставува векторско поле, и магнетното поле B, кое пак е псевдовекторско поле, и двете полиња се зависни од времето. Изворите на овие полиња се електричните полнежи и електричните струи, кои можат да бидат изразени преку сопствените густини наречени густини на електричните полнежи ρ и густините на струјата J. Посебен закон на природата, наречен Лоренцова сила, опишува како електричното и магнетното поле делуваат на наелектризираните честички и електричните струи. Верзија на овој закон е вклучена во оригиналните Максвелови равенки, но денес законот не е повеќе нивен дел.

При запишувањето на електромагнетното поле се користат четири равенки. Две од нив опишуваат како полињата се менуваат во просторот од сопствените извори ако има такви; електричните полиња произлезени од електричните полнежи се опишани со Гаусовиот закон, и магнетните полиња како затворени линии на полето не се должат на магнетните монополи се опишани со Гаусовиот закон за магнетизам. Останатите две равенки опишуваат како полињата се „движат“ околу сопствените извори, магнетното поле се „движи“ околу електричните струи и променливите со време електрични полиња при Амперовиот закон проширен од Максвел, додека пак електричното поле се „движи“ околу променливите со време магнетни полиња при Фарадеевиот закон.

Прецизниот запис на Максвеловите равенки зависи од прецизната дефиниција на количествата кои се запишуваат. Записите се разликуваат во зависност од системот на единици кои се употребува, бидејќи различните дефиниции и димензии се променети од различните димензиски фактори како што се брзината на светлината c. Па поради ова постојаните во записите се изразени поинаку.

Стандардни записи преку SI единиците

Равенките запишани во овој дел се изразени во SI единици. Други единици кои се во употреба се Гаусови единици засновани на „cgs“ системот,^[1] Лоренц–Хевисајдови единици (се користат во физиката на елементарните честички), и Планкови единици (се користат во теориска физика). Види долу за записот преку Гаусови единици.

Име	Интегрални равенки	Диференцијални равенки
Гаусов закон	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Гаусов закон за магнетизам	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Максвел-Фарадеева равенка (Фарадеев закон за индукција)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Амперов закон (со Максвелово проширување)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$
Каде: ∇ е набла оператор E е електрично поле, B е магнетно поле, J е густина на струја, ρ е вкупна густина на полнеж, ε0 е електрична пермитивност во вакуум, µ0 е магнетна пермеабилност во вакуум, кај интегралните равенки, ∫ го означува симболот за интеграл, Ω означува волумен, и ∂Ω е затворена површина, со нормала насочена нанадвор dV означува диференцијал по зафатнинскиот елемент на Ω, Σ означува незатворена површина (се зема за временски независна), dS означува диференцијал на векторски простор елемент на ∂Ω или Σ, паралелелн на наормалата на површината, и ∂Σ е затворена контура околу Σ, со насока спротивна на насоката на часовникот (во согласност со dS).

универзалните постојани кои се појавуваат во равенките се диелектричната константа во вакуум ε₀ и магнетната пробојност во вакуум μ₀, општи одлики на основните равенки на полињата.

Во диференцијалните равенки, просторниот опис на полињата, се врши со помош на набла операторот ∇ кој ги означува трите димензии градиент, и од него ∇· е дивергентен оператор и ∇× кој е ротор оператор. Изворите се земени како просторни густини на полнежот и струјата.

Кај интегралните равенки, се содржи описот на полињата во одреден простор, Ω е одреден волумен со гранична површина ∂Ω, и Σ е која и да било одредена отворена површина со гранична крива ∂Σ. Овде „одредена“ означува дека волуменот или површината не се менува со текот на времето. Иако е можно да се запишат Максвеловите равенки со временски зависни површини и волумени, нема апсолутна потреба од тоа, равенките се точни и комплетни со временски независните површини. Изворите се соодветно вкупни вредности од полнежот и струјата која се содржи или протекува низ овие волумени и површини, одредени по интеграцијата.Зафатнинскиот интеграл на вкупната густина на полнежот ρ низ одреден волумен Ω е вкупниот електричен полнеж содржан во Ω:

${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\,,}$

и вкупната електрична струја е површинскиот интеграл на густината на електричната струја J, која поминува низ некоја одредена површина Σ:

${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$

каде dS означува диференцијален векторски елемент на одредена површина S е нормална на површината Σ. (Векторскиот простор се означува со A отколку со S, но ова е во судир со магнетниот потенцијал, кој е поинакво векторско поле).

„Вкупниот полнеж или струја“ се однесува на вклучувањето на слободните и сврзаните полнежи, или слободните и сврзаните струи. Истите се користат при макроскопски записи долу.

Односи меѓу диференцијалните и интегралните записи

Диференцијалните и интегралните записи на равенките математички се еднакви, преку теоремата на дивергенција во овој случај за Гаусовиот закон за магнетизмот, и преку Келвин-Стоковата теорема во овој случај за Фарадеевиот закон и Амперовиот закон. И двата, и диференцијалниот и интегралниот запис се од корист. Интегралниот запис може често да се користи за едноставно и директно пресметување на полињата од симетричните распределби на полнежите и струите. Од друга страна, диференцијалниот запис е поприроден начин за пресметување на полињата при посложени (помалку симетрични) случаи, на пример користејќи го методот на конечните елементи.^[2]

Флукс и дивергенција

Затворен волумен Ω и неговата граница ∂Ω, околу извор (+) и длабочина (−) на векторско поле F. тука, F може да биде E поле со изворен електричен полнеж, но не и B полето кое не поседува магнетен полнеж како што е прикажано. Нанадвор насочената единична нормала е означена со n.

„Полињата оддадени од изворите“ можат да се добијат од површинските интеграли на полињата низ затворената површина ∂Ω, дефинирана како електричен флукс ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$ и магнетниот флукс ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$, како и нивните соодветни дивергенции ∇ · E и ∇ · B. Овие површински интеграли и дивергенции се поврзани преку теоремата на дивергенција.

Кружно движење и ротор

Отворена површина Σ и граница ∂Σ. F може да биде E или B полињата. Повторно, n е единична нормала. (роторот на векторското поле не наликува на „кружните“ движења, ова е евристичен запис).

„Кружното движење на полињата“ може да се добие од линиските интеграли на полињата околу затворената крива ∂Σ:

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }},\quad \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,,}$

каде dℓ е диференцијалниот векторски елемент на должината на патот тангенцијално во однос на патот/кривата, како нивен ротор:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ,\quad \nabla \times \mathbf {B} \,.}$

Овие линиски интеграли и ротори се поврзани преку Стоксовата теорема, и се аналогни на количествата во класичната динамика на флуиди: циркулација на флуидот е линискиот интеграл на проточната брзина на флуидите во поле околу затворен круг, и вителноста на флуидот е роторот на брзинското поле.

Развој низ времето

„Динамиката“ или „развојот низ времето на полињата“ се должи на парцијалните изводи на полињата во однос на времето:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Овие изводи се од важност за предвидување на ширњењето на полето преку електромагнетните бранови. Бидејќи површината е земена како временски независна, може да се направи следниов премин преку Фарадеевиот закон:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$

види диференцијација под интегралниот знак за подетални податоци за овие резултати.

Видови на записи

Гаусов закон

Гаусовиот закон го опишува заемодејството меѓу статичното електрично поле и електричниот полнеж кој го предизвикува: Статичното електрично поле е насочено од позитивните полнежи кон негативните полнежи. Во описот на полето со помош на силови линии, силовите линии на електричното поле почнуваат од позитивните електрични полнежи и завршуваат во негативните електрични полнежи. 'Броењето' на силовите линии на полето кои минуваат низ затворена површина, оттука, се добива вкупниот полнеж (вклучувајќи го и сврзаниот полнеж поради поларизацијата на материјалот) опколен со таа површина поделена со диелектричната постојана при вакуум. Подобро кажано, целиот електричен флукс минува низ секоја хипотетична затворена „Гаусова површина“ низ затворениот електричен полнеж.

Гаусов закон за магнетизам: магнетните силови линии никогаш не почнуваат или завршуваат туку формираат јамки или се простираат од и во бесконечноста како што е прикажано тука со магнетното поле предизвикано од протокот на струјата во вид на прстен.

Гаусов закон за магнетизам

Гаусов закон за магнетизам тврди дека не постојат „магнетни полнежи“ (исто така наречени магнетни монополи), кои се аналогни на електричните полнежи.^[3] Наместо тоа, магнетното поле кај материјалите се создава од конфигурација наречена дипол. Магнетните диполи најдобро се опишани како јамки на струја кои наликуваат на позитивни и негативни 'магнетни полнежи', неразделно сврзани заедно, без притоа да поседуваат вкупен 'магнетен полнеж'. Претставена преку силови линии, оваа равенка вели дека магнетните силови линии ниту започнуваат ниту завршуваат туку опишуваат јамки или се протегаат до бесконечноста и назад. Кажано поинаку, секоја магнетна силова линија која минува низ даден волумен мора и некаде да го напушти тој волумен. Слична техничка изјава е дека сумата на вкупниот магнетен флукс низ секоја Гаусова површина е нула, или дека магнетното поле е соленоидално векторско поле.

Фарадеев закон

При геомагнетна бура, избојот на флуксот на наелектризираните честички привремено го изменува Земјиното магнетно поле, кое пак индуцира електрични полиња во Земјината атмосфера, предизвикувајќи кратки споеви во електричните мрежи. Уметнички приказ, големините не се во размер.

Максвел-Фарадеевата равенка верзија на Фарадеевиот закон која опишува како временско променливо магнетно поле кое создава („индуцира“ електрично поле.^[3] Ова динамички создадено електрично поле има затворени силови линии како и магнетното поле, ако не е спротивставено преку статично (индуциран полнеж) електрично поле. Овој поглед на електромагнетната индукција е оперативен принцип кај многу електрични генератори: на пример, долгнавест магнет кој ротира создава променливо магнетно поле, кое пак создава електрично поле во блиската жица.

Амперов закон со Максвелово проширување

Магнетното јадрено памтење памтење (1954) е примена на Амперовиот закон. Секое јадро складира податоци со вредност од еден бит.

Амперовиот закон со Максвелово проширување вели дека магнетните полиња можат да бидат создадени на два начина: преку тек на електрична струја (ова е оригиналниот „Амперов закон“) и при променливи магнетни полиња (ова е „Максвеловото проширување“).

Максвеловото проширување на Амперовиот закон е од особена важност: покажува дека не само што променливо магнетно поле создава електрично поле, исто така и променливо електрично поле создава магнетно поле.^[3][4] Токму поради ова, овие равенки овозможуваат самоодржувачки „електромагнетни бранови“ кои патуваат низ вакуум (види електромагнетна бранова равенка).

Брзината која е пресметана за електромагнетните бранови, кои можат да бидат предвидени од опитите за полнежите и струите,^{[белешка 2]} кои се точно еднакви на брзината на светлината, и навистина, светлината е еден вид на електромагнетно зрачење (како што се и X-зраците, радио брановите, и останатите). Максвел ја согледа врската меѓу електромагнетните бранови и светлината во 1861 година, и на тој начин ги обедини теориите за електромагнетизмот и оптиката.

Равенки во вакуум, електромагнетни бранови и брзина на светлината

Поврзано: Равенка на електромагнетен бран и Нехомогена равенка на електромагнетен бран

Овој 3Д дијаграм прикажува рамнински линиски поларизиран бран кој се движи од лево кон десно со истите бранови равенки каде E = E₀ sin(−ωt + k ⋅ r) и B = B₀ sin(−ωt + k ⋅ r)

Во просторот каде има отсуство на полнежи (ρ = 0) и нема струи (J = 0), како што е на пример при вакуум, Максвеловите равенки се сведуваат на:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {E} =\ -&{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}&{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

Земајќи го роторот (∇×) од равенките со ротор, и користејќи идентитето ротор на ротор ∇×(∇×X) = ∇(∇·X) − ∇²X се добива брановите равенки:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0\,,\quad {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\,,}$

кои ја одредуваат

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\mathrm {m~s} ^{-1}}$

што е всушност брзината на светлината во вакуум. Во материјали со одредена релативна пермеативност ε_r и релативна пермеабилност μ_r, фазната брзина на светлината станува:

${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}}}$

која секогаш е помала од c.

Во продолжение, E и B се заемно нормални еден на друг и насоката на брановото движење е во исти меѓусебни фази. Синусоиден рамнински бран е едно од специјалните решенија на овие равенки. Максвеловите равенки објаснуваат како овие бранови можат физички да се движат низ просторот. Променливото магнетно поле создава променливо електрично поле со помош на Фарадеевиот закон. За возврат, тоа електрично поле создава променливо магнетно поле преку Амперовиот закон со Максвелово проширување. Овој постојан циклус дозволува овие бранови, денес познати како електромагнетно зрачење, да се движат низ просторот со брзина c.

„Микроскопски“ наспроти „макроскопски“

Микроскопскиот запис на Максвеловите равенки го изразува електричното E поле и магнетното B поле во однос на вкупниот полнеж и вкупната струја ги вклучуваат и полнежите и струите на атомско ниво. Ова понекогаш се нарекува општа форма на Максвеловите равенки или „Максвелови равенки во вакуум“. Макроскопскиот запис на Максвеловите равенки е исто така општ, при што разликата е незабележлива.

„Максвеловите макроскопски равенки“, исто така познати како Максвелови равенки на материјата, се послични со равенките кои и самиот Максвел ги запишал.

Име	Интегрални равенки	Диференцијални равенки
Гаусов закон	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}}$
Гаусов закон за магнетизам	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Максвел–Фарадеева равенка (Фарадеев закон за индукција)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Амперов закон (со Максвелово проширување)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

За разлика од „микроскопските“ равенки, „макроскопските“ равенки го одвојуваат сврзаниот полнеж Q_b и струја I_b за да се добијат равенки кои зависат само од слободните полнежи Q_f и струи I_f. Ова разделување може да се добие со поделба на вкупниот електричен полнеж и струја како што следи:

${\displaystyle Q=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$

${\displaystyle I=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Цената на ова разделување, е таа дека дополнителните полиња, како полето на поместувањето D и полето на магнетизација-H, се дефинирани и треба да бидат одредени. Овие равенки ги сврзуваат дополнителните полиња со електричното поле E и магнетното поле B, најчесто преку едноставна линиска врска.

За поопширен опис на разликите меѓу микроскопските и (вкупни полнежи и струи вклучувајќи ги и материјалните придонеси или во воздух/вакуум)^{[белешка 3]} макроскопските (слободни полнежи и струи, практични за употреба кај материјалите) различни записи на Максвеловите равенки, види подолу.

Сврзани полнежи и струи

Главни статии: Густина на струја, Сврзан полнеж, и Сврзана струја

Лево: Шематски преглед на тоа како распределени микроскопски диполи создаваат спротивни површински полнежи како што е прикажано од врвот кон дното. Десно: Како распределба на микроскопски струјни јамки се спојуваат и создаваат макроскопски подвижни струјни јамки. Внатре во границите, засебните придодавања тежнеат да се поништат, но на границите не се случува никакво поништување.

Кога се изложени на електрично поле диелектрични материјали нивните молекули реагираат така што создаваат микроскопски електрични диполи – нивните атомски јадра се поместуваат за минимални растојанија во насоката на полето, додека нивните електрони се поместуваат за мало растојание во спротивната насока. На овој начин се создава макроскопски сврзан полнеж во материјалот иако сите полнежи се сврзани за самите молекули. На пример, ако секоја молекула се движи на ист начин, слично на начинот кој е прикажан на сликата, овие мали придвижувања на полнежите се спојуваат за да произведат обвивка од позитивно сврзан полнеж на една страна од материјалот и слој од негативно наелектризирани полнежи на спротивната страна. Сврзаниот полнеж најубаво се објаснува со поимите како поларизација P на материјалот, т.е. диполниот момент на единица волумен. Ако P е подеднакво насекаде, макроскопско раздвојување на полнежот се случува на површината каде P влегува и го напушта материјалот. За неподеднакво P, полнежот се произведува низ целиот материјал.^[5]

На сличен начин, кај сите материјали составните атоми пројавуваат магнетни моменти кој се нераздвојно поврзани аголниот момент на составните делови на атомите, најзабележително е кај нивните електрони. Врската со аголниот момент ја прикажува сликата на распределба на микроскопските струјни јамки. Надвор од материјалот, распределбата на таквите микроскопски струјни јамки не различна макроскопските струи кои се движат низ површината на материјалот, и покрај фактот што ниту еден самостоен полнеж не поминува поголеми растојанија. Овие сврзани струи можат да се опишат со користење на магнетизацијата M.^[6]

Многу сложените и зрнесто врзани полнежи и сврзани струи, можат да се прикажат на макроскопско ниво со поимите P и M кои ги сведуваат овие полнежи и струи на доволно големи нивоа па истите не се разгледуваат како зрнести или самостојни атоми, но истовремено се и доволно мали со што можат да ја менуваат местоположбата во материјалот. Како такви, Максвеловите макроскопски равенки занемаруваат многу детали на финото ниво кои не се од важност за разбирање на работите на големото ниво со пресметување на средната вредност на полињата на одреден волумен.

Помошни полиња, поларизација и магнетизација

Дефинирањето на помошните полиња се врши со помош на равенките:

${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}$

каде P е поларизационото поле и M е магнетизационото поле кои пак се дефинирани преку микроскопските сврзани полнежи и сврзани струи соодветно. Макроскопските сврзани густини на полнежот ρ_b и сврзната густина на струјата J_b изразени преку поларизационото P и магнетизацијата M се дефинираат на следниов начин:

${\displaystyle \rho _{\text{b}}=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{b}}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.}$

Ако ги дефинираме слободниот, сврзаниот и вкупниот полнеж и густината на струјата со:

${\displaystyle \rho =\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\ }$

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},}$

и ги употребиме дефинираните релации од погоре за да се отстрани D, и H, тогаш „макроскопските“ Максвелови равенки се сведуваат на „микроскопски“ равенки.

Записи на равенките низ материјални средини

Главни статии: Равенки низ материјални средини и електромагнетизам

За да се искористат „Максвеловите макроскопски равенки“, потребно е да се одредат врските меѓу поле на поместување D и електричното поле E, како и магнетизирачкото поле H и магнетното поле B. Еквивалентно, треба да се одреди зависноста на поларизацијата P (оттука сврзаниот полнеж) и магнетизацијата M (оттука сврзната струја) на применетото електрично и магнетно поле. Равенките кои го одредуваат овој резултат се наречени материјални односи. За материјалите од секојдневието, материјалните односи се мошне ретко едноставни, освен во случаите кога се одредени преку опити.

За материјалите без поларизација и магнетизација („вакуум“), материјалните односи сè:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }$

со скаларните постојани ε₀ иμ₀. Бидејќи отсуствува сврзан полнеж вкупниот и слободниот полнеж, а и струјата, се еднакви.

Општо, за линиските материјали материјалните односи се:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} }$

каде ε е пермитивноста и μ е пермеабилноста на материјалот. Но и линиските случаи можно е да имаат најразлични усложнувања.

• За хомогени материјали, ε и μ се постојани низ целиот материјал, додека па за нехомогените материјали зависат од местоположбата во самиот материјал (и можеби и времето).
• За изотропни материјали, ε и μсе скалари, додека пак кај неизотропните материјали (на пример кај кристалните структури) тие се тензори.
• Материјалите се во општа смисла распрскани, па ε и μ зависат од честотата на секој од упадните електромагнетни бранови.

Уште поопшто, во случаите на нелиниски материјали (види за пример нелиниска оптика), D и P не се секогаш пропорционални со E, слично и B не секогаш пропорционално со H или M. Воопшто D и H зависат од E и B, во одредена местоположба и време, а веројатно и од други физички величини.

При примената потребно е да се опишат начините како густините на слободните струи и полнежи се однесуваат во однос на E и B со можност да се сврзани со други физички величини како притисок, маса, број на густина и брзина на носителите на полнежот. На пример, оригиналните равенки на Максвел (види Историја на Максвеловите равенки) го вклучуваат и Омовиот закон преку следниот запис:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} \,.}$

Запис на равенките во Гаусови единици

Главна статија: Гаусови единици

Гаусовите единици се популарен систем на единици, и се дел од системот на единици сантиметар–грам–секунда (cgs). Кога се користат cgs единици погодно е да се користат малку поинакви дефиниции за електричните полиња E_cgs = c⁻¹ E_SI. Ова наведува на тоа дека променетите електрични и магнетни полиња ги имаат истите единици (во SI системот но не е така во случајов: на пример, за електромагнетните бранови во вакуум, |E|_SI, што ја прави димензионалната анализана равенките поразлична). И се користи единица за полнеж дефинирани на таков начин што пермитативноста на вакуумот ε₀ = 1/(4πc), оттука μ₀ = 4π/c. Со употреба на овие поинакви записи, Максвеловите равенки можат да се запишат:^[7]

Равенки во Гаусови единици

Име	Микроскопски равенки	Макроскопски равенки
Гаусов закон	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}}$
Гаусов закон за магнетизам	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	исто како микроскопската равенка
Максвел-Фарадеева равенка (Фарадеев закон за индукција)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	исто како микроскопската равенка
Амперов закон (Со Максвелово проширување)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)}$

Поинакви видови на записи

Постојат голем број на начини на кои можат да се запишат микроскопските Максвелови равенки, со што се прикажува дека истите можат да бидат запишани преку различни математички гранки при што ќе се опишат истите физички својства. Често, и овие записи се наречени Максвелови равенки. Директното време-просторно запишување покажува дека Максвеловите равенки се релативистички инваријантни. Во продолжение, записот при кој се користат потенцијали беше првично воведен како убав начин за решавање на равенките, но и да се види целата физика содржана во полињата. Потенцијалите имаат централна улога во квантната механика, но и дејствуваат квантно механички и со последици кои можат да бидат забележани и кога полињата ќе исчезнат (Ахаронов–Бомов ефект).

Математичка гранка	Запис	Хомогени равенки	Нехомогени равенки
Векторска математика	Полиња 3Д Евклидов простор + време	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$
	Потенцијали (секој баждар) 3Д Евклидов простор + време	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} }$
	Потенцијали (Лоренцов баждар) 3Д Евклидов простор + време	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$	${\displaystyle \Box \varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$
Тензорка математика	Полиња Минковски простор	${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$
	Потенцијали (секој баждар) Минковски простор	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{[\beta }A^{\alpha ]}=\mu _{0}J^{\beta }}$
	Потенцијали (Лоренцов баждар) Минковски простор	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$ ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha }=-\mu _{0}J^{\alpha }}$
	Полиња секој време-простор	${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=\nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\beta \alpha })=\mu _{0}J^{\beta }}$
	Потенцијали (секој баждар) секој време-простор	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}=\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }({\sqrt {-g}}\nabla ^{[\beta }A^{\alpha ]})=\mu _{0}J^{\beta }}$
	Потенцијали (Лоренцов баждар) секој време-простор	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}=\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]},}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha }-R^{\alpha }{}_{\beta }A^{\beta }=-\mu _{0}J^{\alpha }}$
Диференцијални форми	Полиња Секој време-простор	${\displaystyle \mathrm {d} F=0}$	${\displaystyle \mathrm {d} {*}F=\mu _{0}J}$
	Потенцијали (секој баждар) Секој време-простор	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$	${\displaystyle \mathrm {d} {*}\mathrm {d} A=\mu _{0}J}$
	потенцијали (Лоренцов баждар) Секој време-простор	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\star }A=0}$	${\displaystyle {\star }\Box A=\mu _{0}J}$

каде:

• При векторските записи на Евклидовиот простор + времето, каде ${\displaystyle \varphi }$ е електричниот потенцијал, A е векторскиот потенцијал и ${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$ е Даламберовиот оператор.
• Кај тензорските математички записи, електромагнетниот тензор ${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$ е антисиметричен коваријантен тензор од 2 ранг, со четири потенцијали ${\displaystyle A_{\alpha }}$ е коваријантен вектор, струјата ${\displaystyle J^{\alpha }}$ е векторска густина, со средните загради [ ] се означува антисиметризацијата на показателите, ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ е изводот во координатата ${\displaystyle x^{\alpha }}$. Во Минковскиот простор координатите се избрани во однос на инерцијалната рамка, ${\displaystyle (x^{\alpha })=(ct,x,y,z)}$, така што метричкиот тензор кој се користи за да се зголеми или намали показателите е ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$. Даламберовиот оператор во Минковскиот простор е ${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }}$ како и при векторскиот запис. Во општите време-простори, координативниот систем ${\displaystyle x^{\alpha }}$ е произволен, коваријантниот извод ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$, Ричиевиот тензор ${\displaystyle R_{\alpha \beta }}$ и зголемувањето и намалувањето на показателите се дефинирани со Лоренцовиот метрички тензор ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ и Даламберовиот оператор кој е дефиниран како ${\displaystyle \Box =\nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }}$.
• Во Диференцијална форма записите на произволни време простори, ${\displaystyle F=F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$ е електромагнетниот тензор кој се гледа како двоформен, ${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$ е потенцијалот во 1 форма, ${\displaystyle J}$ е струјата (псевдо) во 3 форми, d е диференцијалот, и ${\displaystyle {*},{\star }}$ се Хоџовите ѕвезди во форма дефинирана од Лоренцовиот метрички тензор на простор-времето. Операторот ${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {*}\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$ е Даламберов-Лапласов-Белтрамиев оператор во 1-форма на произволен Лоренцов време-простор.

Други видови на записи се геометриско алгебарски запис и матричен приказ на Максвеловите равенки. Историски, се користел квартенионски запис.^[8][9]

Решенија

Максвеловите равенки се парцијални диференцијални равенки кои се поврзани со електричните и магнетните полиња меѓусебно како и со електричните полнежи и струи. Често, полнежите и струите се зависни од електричните и магнетните полиња преку равенката на Лоренцовата сила и материјални односи. Сите овие создаваат збир од парови парцијални диференцијални равенки, кои најчесто се многу тешки за решавање. Всушност решенијата на овие равенки ги вклучуваат и останатите различни појави во целото поле на класичниот електромагнетизам. Детално разгледување на решенијата е надвор од здравиот разум, но можат да се дадат општи забелешки кои следат во продолжение.

Како и кај секоја диференцијална равенка, потребни се гранични услови^[10][11][12] и почетни услови^[13] за да се добие еднозначно решение. На пример, иако не постојат полнежи и струи каде и да било во врем-просторот, можни се бројни решенија на Максвеловите равенки, а не само очигледно решение E = B = 0. Друго решение е E = constant, B = constant, додека пак други решенија имаат електромагнетни бранови кои се простираат низ време-просторот. Во некои случаи, Максвеловите равенки се решаваат низ бесконечен простор, а граничните услови се дадени како асимптотни граници во бесконечноста.^[14] Во други случаи, Максвеловите равенки се решаваат само во конечни делови од просторот, со произволни со произволни гранични услови за тој простор: На пример, граница може да биде вештачка апсорбирачка граница која го претставува остатокот од универзумот,^[15][16] или периодични гранични услови, или (како што се брановодот или шуплинскиот резонатор) граничните услови можат да опишуваат ѕидови кои изолираат мал простор од случувањата во надворешниот свет.^[17]

Ефименковите равенки (или на нив блиските Лајнард-Вихертови потенцијали) се експлицитните решенија на Максвеловите равенки за електричните и магнетни полиња создадени од дадена распределба на полнежи и струи. Се претпоставуваат одредени почетни услови за да се добијат т.н. „заостанати решенија“, каде единствените присутни полиња се оние кои се создадени од понежите. Ефименковите равенки не се од помош во случаите кога полнежите и струите се самите под влијание на полињата кои ги создаваат.

Бројчени методи за диференцијални равенки се користат кога Максвеловите равенки се решаваат приближно, не è можно точно решение. Овие методи најчесто побаруваат сметач, и се употребува метод на конечни елементи и метод на конечни разлики во временска област.^{[10][12][18][19][20]} За повеќе информации, видете пресметковна електромагнетика.

Максвеловите равенки наликуваат како да се преопределени, на овој начин тие вклучуваат 6 непознати (трите компоненти на E и B) но осум равенки (една за секој од Гаусовите закони, три векторски компоненти за секој Фарадеев и Амперов закон). (Струите и полнежите не сè непознати, тие се дел од теоријата на зачувувањето на полнежот.) Ова е пповрзано со одредени ограничувачки вишоци во Максвеловите: може да се докаже дека секој систем кој им се покорува на Фарадеевиот и Амперовиот закон веднаш се покорува и на двата Гаусови закони, сè додека почетниот услов на ситемот го прави истото.^[21][22] Иако е можно едноставно да се занемарат двата Гаусови закони во бројченот алгоритам (настрана од почетните услови), недобрата прецизност на пресметките ќе доведе до поголеми нарушувања на овие закони. Со воведување на фиктивни променливи кои ги опишуваат овие нарушувања, четирите равенки не се повеќе преопределени. Па добиените записи водат до попрецизни алгоритми кои се покоруваат на четирите закони.^[23]

Ограничувања на теоријата на електромагнетизмот

Додека Максвеловите равенки (заедно со остатокот од класичниот електромагнетизам) се доста успешни во објаснувањето на и предвидувањето на различни појави, тие не се точни,туку се приближни претпоставки. Во некои специјални случаи, тие се доста неточни. Примери за ова се крајно силните полиња (видете Ојлер–Хајзенбергов Лагранжова функција) и крајно малите растојанија (видете поларизација на вакуум). Како и различните појави кои се случуваат во светот а за кои Максвеловите равенки велат дека се невозможни, како на пример „некласична светлина“ и квантна заплетканост на електромагнетните полиња (видете квантна оптика). Конечно, секоја појава кој вклучува единични фотони, како што се фотоелектричен ефект, Планков закон, Дуан–Хантов закон, фотон-светлински детекторитн., се тешки или невозможно е да се објаснат со употреба на Максвеловите равенки, бидејќи истите не се занимаваат со фотони. За подобри и попрецизни предвидувања на овие полиња се користи квантна електродинамика.

Варијации

Познати варијации на Максвеловите равенки како класична теорија на електромагнетните полиња се малобројни бидејќи стандардните равенки се одржале до ден денес.

Магнетни монополи

Главна статија: Магнетен монопол

Максвеловите равенки тврдат дека постои електричен полнеж, но не и магнетен полнеж (наречен магнетен монопол), во универзумот. И навистина, магнетен полнеж никогаш не е забележан (и покрај обемните истражувања)^{[белешка 4]} и можно е да не постојат. Ака пак истите постојат, Гаусовиот закон за магнетизмот и Фарадеевиот закон ќе мора да претрпат промени, и добиените четири равенки би биле целосно симетрични при меѓусебна замена на електричните и магнетните полиња.^[24][25]

Поврзано

• Алгебра на физичкиот простор
• Френелови равенки
• Гравитоелектромагнетизам
• Риманов–Силберштајнов вектор
• Време-просторна алгебра

Белешки

1. Максвеловите равенки во која и да се форма се во согласност со теоријата за релативноста. Овие временско-просторни записи ја прават таа согласност со теоријата уште поразбирлива и поочигледна.
2. Количествата кои се наречени ${\displaystyle \scriptstyle {1/{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}$, со единици на брзина, беа директно измерени пред Максвеловите равенки, во опит од 1855 година изведен од Вилхелм Едуард Вебер и Рудолф Колрауш. Тие створија полнеж во т.н. лајденска тегла (еден вид на кондензатор), и ја измерија електростатичка сила која се поврзува со потенцијалот, за подоцна, да го исцрпат полнежот од теглата додека ја мерат магнетната сила од струјата во жицата низ која се празни полнежот од теглата. Нивниот резултата за брзината беше 3,107⋅10⁸ м/с, неверојатно близу до брзината на светлината. Видете во The story of electrical and magnetic measurements: from 500 B.C. to the 1940s, by Joseph F. Keithley, p115
3. Во некои книги — на пример во U. Krey и A. Owen's Основна теориска физика (Springer 2007) — се користи поимот делотворен полнеж наместо вкупен полнеж, додека пак слободниот полнеж едноставно се нарекува полнеж.
4. Видете магнетен монпол за дискусија околу барањето на магнетниот монопол. Неодамна, научниците утврдија дека некои видови на кондензирана материја, како кај спинов мраз и тополошки изолатори, кои како да покажуваат произлегувачкооднесување слично на магнетни монополи. (видете [1] и [2].) Иако истите беа објавени во печатот како долго очекуваното откритие на магнетните монополи, тие се само наизглед поврзани. „Вистински“ магнетен монопол е појавата кога ∇ ⋅ B ≠ 0, додека пак кај овие системи на кондензирана материја, ∇ ⋅ B = 0 и само ∇ ⋅ H ≠ 0.

Наводи

1. David J Griffiths (1999). Introduction to electrodynamics (Third. изд.). Prentice Hall. стр. 559–562. ISBN 0-13-805326-X.
2. Šolín, Pavel (2006). Partial differential equations and the finite element method. John Wiley and Sons. стр. 273. ISBN 0-471-72070-4.
3. „J.D. Jackson, "Maxwell's Equations" video glossary entry“. Архивирано од изворникот на 2010-02-07. Посетено на 2014-07-07.
4. Principles of physics: a calculus-based text, by R.A. Serway, J.W. Jewett, page 809.
5. За добар опис на тоа како поларизацијата P е поврзана со сврзаниот полнеж видете: David J. Griffiths (1999). „4.2.2“. Introduction to Electrodynamics (third. изд.). Prentice Hall.
6. За добар опис на тоа како магнетизацијата M е поврзана со сврзаната струја видете: David J. Griffiths (1999). „6.2.2“. Introduction to Electrodynamics (third. изд.). Prentice Hall.
7. Littlejohn, Robert (Fall 2007). „Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory“ (PDF). Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes. Архивирано од изворникот (PDF) на 2012-07-11. Посетено на 2008-05-06.
8. P.M. Jack (2003). „Physical Space as a Quaternion Structure I: Maxwell Equations. A Brief Note“. Toronto, Canada. arXiv:math-ph/0307038.
9. A. Waser (2000). „On the Notation of Maxwell's Field Equations“ (PDF). AW-Verlag.
10. Peter Monk (2003). Finite Element Methods for Maxwell's Equations. Oxford UK: Oxford University Press. стр. 1 ff. ISBN 0-19-850888-3.
11. Thomas B. A. Senior & John Leonidas Volakis (1995-03-01). Approximate Boundary Conditions in Electromagnetics. London UK: Institution of Electrical Engineers. стр. 261 ff. ISBN 0-85296-849-3.
12. T Hagstrom (Björn Engquist & Gregory A. Kriegsmann, Eds.) (1997). Computational Wave Propagation. Berlin: Springer. стр. 1 ff. ISBN 0-387-94874-0.
13. Henning F. Harmuth & Malek G. M. Hussain (1994). Propagation of Electromagnetic Signals. Singapore: World Scientific. стр. 17. ISBN 981-02-1689-0.
14. David M Cook (2002). The Theory of the Electromagnetic Field. Mineola NY: Courier Dover Publications. стр. 335 ff. ISBN 0-486-42567-3.
15. Jean-Michel Lourtioz (2005-05-23). Photonic Crystals: Towards Nanoscale Photonic Devices. Berlin: Springer. стр. 84. ISBN 3-540-24431-X.
16. S. G. Johnson, Notes on Perfectly Matched Layers, online MIT course notes (Aug. 2007).
17. S. F. Mahmoud (1991). Electromagnetic Waveguides: Theory and Applications applications. London UK: Institution of Electrical Engineers. Chapter 2. ISBN 0-86341-232-7.
18. John Leonidas Volakis, Arindam Chatterjee & Leo C. Kempel (1998). Finite element method for electromagnetics : antennas, microwave circuits, and scattering applications. New York: Wiley IEEE. стр. 79 ff. ISBN 0-7803-3425-6.
19. Bernard Friedman (1990). Principles and Techniques of Applied Mathematics. Mineola NY: Dover Publications. ISBN 0-486-66444-9.
20. Taflove A & Hagness S C (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-difference Time-domain Method. Boston MA: Artech House. Chapters 6 & 7. ISBN 1-58053-832-0.
21. H Freistühler & G Warnecke (2001). Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. стр. 605.
22. J Rosen. „Redundancy and superfluity for electromagnetic fields and potentials“. American Journal of Physics. 48 (12): 1071. Bibcode:1980AmJPh..48.1071R. doi:10.1119/1.12289.
23. B Jiang & J Wu & L.A. Povinelli (1996). „The Origin of Spurious Solutions in Computational Electromagnetics“. Journal of Computational Physics. 125 (1): 104. Bibcode:1996JCoPh.125..104J. doi:10.1006/jcph.1996.0082.
24. J.D. Jackson. Classical Electrodynamics. 6.11 (3. изд.). ISBN 0-471-43132-X.
25. „IEEEGHN: Maxwell's Equations“. Ieeeghn.org. Посетено на 2008-10-19.

Статијата Максвелови равенки е добра статија. Таа исполнува одредени критериуми за квалитет и е дел од инкубаторот на Википедија.