준군
추상대수학 과 범주론 에서 준군 (準群, 영어 : groupoid 그루포이드[* ] )은 군 과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산 이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙 을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산 이 존재하고, 역원 이 항상 존재하는 집합이다.
준군
(
G
,
S
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {S}},\cdot )}
집합
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
× × -->
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}}
부분 집합
S
⊆ ⊆ -->
G
× × -->
G
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
⋅ ⋅ -->
: : -->
S
→ → -->
G
{\displaystyle \cdot \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {G}}}
⋅ ⋅ -->
(
g
,
h
)
{\displaystyle \cdot (g,h)}
g
h
{\displaystyle gh}
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(결합 법칙 ) 임의의
g
,
h
,
k
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g,h,k\in {\mathcal {G}}}
(
g
,
h
)
,
(
h
,
k
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g,h),(h,k)\in {\mathcal {S}}}
(
g
,
h
k
)
,
(
g
h
,
k
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g,hk),(gh,k)\in {\mathcal {S}}}
g
(
h
k
)
=
(
g
h
)
k
{\displaystyle g(hk)=(gh)k}
(역원 의 존재) 임의의
g
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}
g
− − -->
1
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g^{-1}\in {\mathcal {G}}}
g
{\displaystyle g}
역원 (逆元, 영어 : inverse )이라고 한다.
(정의역과 공역)
(
g
,
g
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g,g^{-1})\in {\mathcal {S}}}
(
g
− − -->
1
,
g
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g^{-1},g)\in {\mathcal {S}}}
(오른쪽 항등원 의 성질) 임의의
h
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle h\in {\mathcal {G}}}
(
h
,
g
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (h,g)\in {\mathcal {S}}}
h
g
g
− − -->
1
=
h
{\displaystyle hgg^{-1}=h}
(왼쪽 항등원 의 성질) 임의의
h
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle h\in {\mathcal {G}}}
(
g
,
h
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g,h)\in {\mathcal {S}}}
g
− − -->
1
g
h
=
h
{\displaystyle g^{-1}gh=h}
이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의
g
,
h
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g,h\in {\mathcal {G}}}
g
g
− − -->
1
≠ ≠ -->
h
h
− − -->
1
{\displaystyle gg^{-1}\neq hh^{-1}}
범주론 적으로, 준군
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
사상 이 동형 사상 인 작은 범주 이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.
대수적 정의
범주론적 정의
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
S
⊆ ⊆ -->
G
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {G}}^{2}}
⨆ ⨆ -->
A
,
B
,
C
∈ ∈ -->
Ob
-->
(
G
)
hom
G
-->
(
A
,
B
)
× × -->
hom
G
-->
(
B
,
C
)
{\displaystyle \bigsqcup _{A,B,C\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})}\hom _{\mathcal {G}}(A,B)\times \hom _{\mathcal {G}}(B,C)}
(
g
,
h
)
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle (g,h)\in {\mathcal {S}}}
codom
-->
g
=
dom
-->
h
{\displaystyle \operatorname {codom} g=\operatorname {dom} h}
{
g
g
− − -->
1
: : -->
g
∈ ∈ -->
G
}
⊆ ⊆ -->
G
{\displaystyle \{gg^{-1}\colon g\in {\mathcal {G}}\}\subseteq {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
Ob
-->
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})}
g
g
− − -->
1
,
h
h
− − -->
1
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle gg^{-1},hh^{-1}\in {\mathcal {G}}}
{
k
∈ ∈ -->
G
: : -->
(
g
g
− − -->
1
,
k
)
,
(
k
,
h
h
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
S
}
{\displaystyle \{k\in {\mathcal {G}}\colon (gg^{-1},k),(k,hh^{-1})\in {\mathcal {S}}\}}
A
,
B
∈ ∈ -->
Ob
-->
(
G
)
{\displaystyle A,B\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})}
hom
G
-->
(
A
,
B
)
{\displaystyle \hom _{\mathcal {G}}(A,B)}
이항 연산
⋅ ⋅ -->
: : -->
S
→ → -->
G
{\displaystyle \cdot \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {G}}}
사상의 합성
군 의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치 이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합 의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치 이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주 의 개념이 모노이드 의 개념과 집합 의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 군 의 개념과 집합 의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.
군
G
{\displaystyle G}
S
{\displaystyle S}
작용 한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군
G
∫ ∫ -->
S
{\displaystyle \textstyle G\int S}
G
∫ ∫ -->
S
{\displaystyle \textstyle G\int S}
S
{\displaystyle S}
s
,
t
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle s,t\in S}
hom
G
∫ ∫ -->
S
=
{
g
∈ ∈ -->
G
: : -->
g
s
=
t
}
{\displaystyle \hom _{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
부분 집합
S
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle S\subseteq X}
기본 준군
Π Π -->
(
X
,
S
)
{\displaystyle \Pi (X,S)}
Π Π -->
(
X
,
S
)
{\displaystyle \Pi (X,S)}
S
{\displaystyle S}
s
,
t
∈ ∈ -->
S
{\displaystyle s,t\in S}
hom
Π Π -->
(
X
,
S
)
-->
(
s
,
t
)
{\displaystyle \hom _{\Pi (X,S)}(s,t)}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
경로 들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류 들의 집합이다.
하인리히 브란트(독일어 : Heinrich Brandt )가 1926년 에 도입하였다.[ 1]
↑ Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96 (1): 360–366. doi :10.1007/BF01209171 .
