마그마 (수학)

추상대수학과 범주론에서 마그마(영어: magma)는 집합과 그 위의 이항 연산 외에 아무런 추가 조건도 없는 대수 구조이다. 준군(영어: groupoid)은 이와 다른 개념이나, 마그마를 가리키는 데 사용되는 용어이기도 하다.

정의

마그마 ${\displaystyle (M,\cdot )}$는 이항 연산을 갖춘 집합이다. 즉, 임의의 원소쌍 ${\displaystyle m,n\in M}$에 유일한 원소 ${\displaystyle m\cdot n\in M}$를 대응시키는 함수가 주어진 집합이다.

준동형

두 마그마 ${\displaystyle (M,\cdot _{M}),(N,\cdot _{N})}$ 사이의 준동형 ${\displaystyle f\colon M\to N}$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 ${\displaystyle m,m'\in M}$에 대하여, ${\displaystyle f(m\cdot _{M}m')=f(m)\cdot _{N}f(m')}$

종류

• 단위 마그마(單位-, 영어: unital magma)는 항등원을 갖는 마그마이다.
• 중가환 마그마(中可換-, 영어: medial magma)는 중가환 법칙 ${\displaystyle (mn)(pq)=(mp)(nq)}$를 만족시키는 마그마이다.
• 가환 마그마(可換-, 영어: commutative magma)는 교환 법칙을 만족시키는 마그마이다.
• 유사군은 모든 왼쪽·오른쪽 곱셈 작용이 전단사 함수인 마그마이다.
• 고리는 항등원을 갖는 유사군이다.
• 반군은 결합 법칙을 만족시키는 마그마이다.
• 반격자는 교환 법칙과 멱등 법칙을 만족시키는 반군이다.
• 모노이드는 항등원을 갖는 반군이다.
• 군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다.
• 아벨 군은 교환 법칙을 만족시키는 군이다.

역사

‘마그마’(프랑스어: magma)는 니콜라 부르바키가 도입한 용어로, 프랑스어로 ‘잡동사니’라는 뜻이 있다.

같이 보기

• 보편대수학
• 대수 구조

외부 링크

• “Magma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free magma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Magma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Magma”. 《nLab》 (영어). 
• “Magma”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Definition:Magma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Opposite magma”. 《ProofWiki》 (영어).