위상환

수학에서 위상환(位相環, 영어: topological ring)은 환의 구조가 주어진 위상 공간이다.

정의

위상환 ${\displaystyle R}$은 위상 공간과 환의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 ${\displaystyle +\colon R\times R\to R}$
• 덧셈의 역 ${\displaystyle -\colon R\to R}$
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon R\times R\to R}$

따라서, 위상환은 아벨 위상군을 이룬다.

위상체(位相體, 영어: topological field)는 위상 공간과 체의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 ${\displaystyle +\colon R\times R\to R}$
• 덧셈의 역 ${\displaystyle -\colon R\to R}$
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon R\times R\to R}$
• 곱셈의 역 ${\displaystyle ^{-1}\colon R\setminus \{0\}\to R}$

위상체는 위상환의 특별한 경우다.

분류

국소 콤팩트 위상체

모든 비이산 하우스도르프 국소 콤팩트 위상체 ${\displaystyle L}$은 다음 체들 가운데 하나의 유한 확대이다.^[1]

• ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. 즉, ${\displaystyle L=\mathbb {R} }$이거나 ${\displaystyle L=\mathbb {C} }$이다.
• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}}$ (p진수체)
• ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}((t))}$ (${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$의 형식적 로랑 급수체)

같이 보기

• 위상 벡터 공간

참고 문헌

1. Clark, Pete L. “Chapter 5: locally compact fields” (PDF). 《University of Georgia》 (영어). 2024년 7월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2024년 7월 10일에 확인함. 

외부 링크

• “Topological ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Topological field”. 《nLab》 (영어).