양자장론에서 워드-다카하시 항등식(Ward–Takahashi identity)은 뇌터 정리를 일반화한 항등식이다.
역사
존 클라이브 워드(John Clive Ward)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다.[1] 다카하시 야스시(高橋 康)가 이를 일반화하였다.[2]
정의
주어진 양자장론이 어떤 전역적(global) 대칭
을 가진다고 하자. 즉,
![{\displaystyle \delta _{\epsilon }\left[D\phi \;\exp(iS[\phi ])\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3a4d794bfb2bcada45a4e96e3d1f637b8a6463)
이라고 하자. 여기서
는 경로 적분의 측도이고,
는 경로 적분의 볼츠만 인자이고,
는 주어진 연산자이다. 이제,
을 상수가 아니라 (무한소의) 함수
로 놓자. 그렇다면
의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.
.
뿐만 아니라, 임의의 연산자
를 삽입하면 다음과 같다.
.
이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.
![{\displaystyle =\int \delta _{\epsilon }\left[X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\;D\phi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701ea55f789b7169c21660d914b0592050c61ffb)
.
여기서
은 시간 순서 진공 기댓값이다.
이를 워드-다카하시 항등식이라고 한다.
워드-다카하시 항등식을 비가환 게이지 대칭에 대하여 일반화할 수 있다. 이를 슬라브노프-테일러 항등식(Slavnov–Taylor identity)이라고 한다.[3][4][5]
각주
- ↑ Ward, John Clive (1950). “An identity in quantum electrodynamics”. 《Physical Review》 78 (2): 182–182. doi:10.1103/PhysRev.78.182.
- ↑ Takahashi, Yasushi (1957년 8월). “On the generalized Ward identity”. 《Il Nuovo Cimento》 6 (2): 371-375. doi:10.1007/BF02832514.
- ↑ Slavnov, Andrei A. (1972년 2월 1일). “Ward identities in gauge theories”. 《Theoretical and Mathematical Physics》 10 (2): 99–104. doi:10.1007/BF01090719.
- ↑ Taylor, J.C. (1971년 11월 1일). “Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field”. 《Nuclear Physics B》 33 (2): 436–444. doi:10.1016/0550-3213(71)90297-5.
- ↑ Slavnov, Andrei A. (2008년 10월 22일). “Slavnov–Taylor identities”. 《Scholarpedia》 3 (10): 7119. doi:10.4249/scholarpedia.7119.
외부 링크