보편 포락 대수

리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, 영어: universal enveloping algebra)는 주어진 리 대수의 리 괄호를, 결합법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

정의

보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 구체적으로, 텐서 대수의 특정한 양쪽 아이디얼에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
• 추상적으로, 결합 대수를 리 대수로 여기는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

구체적 정의

가환환 ${\displaystyle K}$에 대한 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

${\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {g}}^{\otimes _{K}n}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\oplus \dotsb }$

에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$를 생각하자.

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}\subset T({\mathfrak {g}})}$

이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})={\frac {\operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}}$

를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 보편 포락 대수 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$라고 한다. 이는 ${\displaystyle K}$-결합 대수를 이룬다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})}$이므로, 자연스러운 ${\displaystyle K}$-선형 변환

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

이 존재한다.

보편 포락 대수 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$는 텐서 대수 ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}}}$에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.

• 곱셈: ${\displaystyle ab}$
• 단위원: ${\displaystyle 1}$
• 쌍대곱: ${\displaystyle \Delta (a)=a\otimes 1+1\otimes a}$
• 쌍대단위원: ${\displaystyle \epsilon (a)=0}$
• 앤티포드: ${\displaystyle S(a)=-a}$

범주론적 정의

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle K}$-리 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}}$와 ${\displaystyle K}$-결합 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}}$를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}}$

${\displaystyle (A,\cdot )\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)}$

는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle \operatorname {U} \dashv \operatorname {Forget} }$

${\displaystyle \operatorname {U} \colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Assoc} _{K}}$

를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 보편 포락 대수라고 한다.

보편 포락 대수의 쌍대 대수

보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 짧은 완전열

${\displaystyle 0{\mathfrak {I}}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\to 0}$

은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.)

${\displaystyle 0\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}\to \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}\to {\mathfrak {I}}^{*}\to 0}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {T} ({\mathfrak {g}})^{*}=\operatorname {T} ({\mathfrak {g}}^{*})}$

이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소

${\displaystyle p=\sum _{i=0}p_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})^{*}}$

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 자연수 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여, 선형 변환 ${\displaystyle p_{i}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes i}\to K}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \sup\{i\in \mathbb {N} \colon p_{i}\neq 0\}<\infty }$

${\displaystyle p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n})-p_{2+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},z,y,w_{1},\dotsc ,w_{n})=p_{1+m+n}(x_{1},\dotsc ,x_{m},[y,z],w_{1},\dotsc ,w_{n})\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x_{1},\dotsc ,x_{m},y,z,w_{1},\dotsc ,w_{n}\in {\mathfrak {g}}}$

예를 들어

${\displaystyle p_{2}(x,y)-p_{2}(y,x)=p_{1}([x,y])}$

${\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(x,z,y)=p_{2}(x,[y,z])}$

${\displaystyle p_{3}(x,y,z)-p_{3}(y,x,z)=p_{2}([x,y],z)}$

이다. (${\displaystyle p_{0}\in K}$는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle (pq)_{0}()=p_{0}()q_{0}()}$

${\displaystyle (pq)_{1}(x)=p_{0}()q_{1}(x)+p_{1}(x)q_{0}()}$

${\displaystyle (pq)_{2}(x,y)=p_{0}()q_{2}(x,y)+p_{1}(x)q_{2}(y)+p_{1}(y)q_{1}(x)+p_{2}(x,y)q_{0}()}$

${\displaystyle (pq)_{3}(x,y,z)=p_{0}()q_{3}(x,y,z)+p_{1}(x)q_{2}(y,z)+p_{1}(y)q_{2}(x,z)+p_{1}(z)q_{2}(x,y)+p_{2}(x,y)q_{1}(z)+p_{2}(x,z)q_{2}(y)+p_{2}(y,z)q_{2}(x)+p_{3}(x,y,z)q_{0}()}$

${\displaystyle \vdots }$

일반적으로 ${\displaystyle (pq)_{i}}$의 표현은 ${\displaystyle 2^{i}}$개의 항을 갖는다. 그 항등원은

${\displaystyle e_{0}()=1}$

${\displaystyle e_{i}=0\qquad \forall i>0}$

이다.

성질

환론적 성질

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

연산과의 호환

체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 직합 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.^{[1]:63, Corollary 1.2.4}

${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}})=\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{K}\operatorname {U} ({\mathfrak {h}})}$

푸앵카레-버코프-비트 정리

푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, 영어: Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.

${\displaystyle \iota _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

또한, ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$는 항상 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 ${\displaystyle K}$-자유 가군이라고 하자. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 (하멜) 기저 ${\displaystyle B\subseteq {\mathfrak {g}}}$를 고르자. 또한, ${\displaystyle B}$ 위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면, ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ 역시 ${\displaystyle K}$-자유 가군이며, 집합

${\displaystyle \left\{\iota _{\mathfrak {g}}(b_{1})\iota _{\mathfrak {g}}(b_{2})\dotsm \iota _{\mathfrak {g}}(b_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n}\in B\right\}}$

은 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$의 (하멜) 기저를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dotsc \}}$은 자연수의 집합이며, 특히 ${\displaystyle n=0}$일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

하리시찬드라 동형 정리

복소수체 위의 가약 리 대수(영어: reductive Lie algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 보편 포락 대수 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$의 중심 ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))}$을 생각하자. 이 경우, 바일 군 ${\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}$을 정의할 수 있다. 또한, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$를 고른다면, ${\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 위의 다항식환 (대칭 대수) ${\displaystyle \operatorname {Sym} {\mathfrak {h}}}$ 위에도 자연스럽게 작용한다.

하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, 영어: Harish-Chandra isomorphism theorem)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} {\mathfrak {g}}))=(\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}}$

여기서 ${\displaystyle (\operatorname {Sym} {\mathfrak {h}})^{\operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}}$는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

카시미르 불변량

${\displaystyle n}$차원 복소수 단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식

${\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle B}$-정규 직교 기저

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{X^{1},\dots ,X^{n}\}}$

${\displaystyle B(X^{i},X^{j})=\delta ^{ij}}$

가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카시미르 불변량(Casimir不變量, 영어: Casimir invariant)은 다음과 같은 보편 포락 대수 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$의 원소이다.

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{n}B(X^{i},X^{j})\in U({\mathfrak {g}})}$

보다 일반적으로, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 대칭 쌍선형 형식

${\displaystyle B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$

가 딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.

${\displaystyle B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}}$

그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량 ${\displaystyle C(B)\in U({\mathfrak {g}})}$를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$일 경우, 단일 연결 리 군 ${\displaystyle G}$의 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$는 ${\displaystyle G}$ 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 ${\displaystyle G}$ 위의 라플라스-벨트라미 연산자 ${\displaystyle \Delta _{B}}$와 같다.

역사

1880년대에 알프레도 카펠리(이탈리아어: Alfredo Capelli)가 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)}$에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다.^[2] 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프^[3]와 에른스트 비트^[4]가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(프랑스어: théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt)로 일컫기 시작하였다.^[5]

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

각주

1. Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L.; Vinberg, E. B. (1993). 《Lie groups and Lie algebras Ⅰ. Foundations of Lie Theory. Lie transformation groups》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어) 20. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57999-8. 
2. Poincaré, Henri (1900). “Sur les groupes continus”. 《Transactions of the Cambrdige Philosophical Society》 (프랑스어) 18: 220–225. 
3. Birkhoff, Garrett (1937년 4월). “Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (2): 526–532. doi:10.2307/1968569. JSTOR 1968569. 
4. Witt, Ernst (1937). “Treue Darstellung Liescher Ringe”. 《J. Reine Angew. Math.》 (독일어) 177: 152–160. 
5. Bourbaki, Nicolas (1960). 《Groupes et algèbres de Lie》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. 

• Dixmier, Jacques (1996). 《Enveloping algebras》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 11 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0560-2. MR 1393197. Zbl 0867.17001. 
• Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 131. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-6867-5. Zbl 1255.17001. 

외부 링크

• “Universal enveloping algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Birkhoff-Witt theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Universal enveloping algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “How to understand the Harish-Chandra isomorphism?” (영어). Math Overflow.