중심 (대수학)

추상대수학에서 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의

이항 연산 ${\displaystyle \cdot }$을 가진 대수 구조 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 중심 ${\displaystyle Z(X)}$은 다음과 같은 부분 집합이다.

${\displaystyle \{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}}$

일부 대수 구조의 경우, 이는 ${\displaystyle X}$의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 ${\displaystyle Z}$인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸^[*]의 머릿글자다.

성질

만약 이항 연산에 대한 항등원 ${\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x}$이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

${\displaystyle 1\in Z(X)}$

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 ${\displaystyle z\in Z(X)}$에 대하여 역원 ${\displaystyle z^{-1}\cdot z=z\cdot z^{-1}=1}$이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

${\displaystyle z\in Z(X)\implies z^{-1}\in Z(X)}$

이는 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여

${\displaystyle z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}}$

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

주요 대수 구조의 중심

군의 중심

군 ${\displaystyle G}$의 중심 ${\displaystyle Z(G)}$는 ${\displaystyle G}$의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우, ${\displaystyle Z(G)=G}$이다.

모노이드의 중심

모노이드 ${\displaystyle (M,\cdot )}$의 중심 ${\displaystyle Z(M)}$은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, ${\displaystyle Z(M)=M}$이다.

환의 중심

유사환 ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$의 중심은 곱셈 ${\displaystyle \cdot }$에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle Z(R)}$ 위의 결합 대수를 이룬다.

환 ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle Z(R)}$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 ${\displaystyle D}$의 중심 ${\displaystyle Z(D)}$은 체를 이루며, ${\displaystyle D}$는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

예

군의 중심

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

군	중심
사원수군 ${\displaystyle Q_{8}}$	${\displaystyle \{+1,-1\}}$
대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$ (${\displaystyle n\geq 3}$)	자명군
교대군 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n)}$ (${\displaystyle n\geq 4}$)	자명군
일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$	${\displaystyle \{aI_{n\times n}\colon a\in K\setminus \{0\}\}}$
직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n;K)}$	${\displaystyle \{\pm I_{n\times n}\}}$

환의 중심

사원수의 나눗셈환 ${\displaystyle \mathbb {H} }$의 중심은 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}$의 중심은 스칼라 행렬

${\displaystyle Z(\operatorname {Mat} (n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K}$

이다. 행렬환은 이에 따라 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “Centre of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Centre of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 중심화 부분군
• 정규화 부분군