바일 군
수학 에서 바일 군 (영어 : Weyl group )은 근계 의 반사 자기동형군 이다. 헤르만 바일 의 이름을 땄다.
근계 는 실수 벡터 공간 에서 특정한 성질을 만족시키는 일련의 벡터들의 집합이다. 근계에서, 원점을 중심으로 하고, 근들을 보존시키는 벡터 공간 반사 들의 집합은 합성을 통해 콕서터 군 을 이룬다. 이를 근계의 바일 군 이라고 한다.
바일 군은 반사들로 생성되는 콕서터 군이므로, 이에 대하여 길이 및 브뤼아 순서 영어 : Bruhat order )를 정의할 수 있다. 후자는 바일 군 위에 정의되는 부분 순서 이다. 대략, 바일 군의 두 원소를
g
=
s
1
s
2
⋯ ⋯ -->
s
m
{\displaystyle g=s_{1}s_{2}\cdots s_{m}}
h
=
t
1
t
2
… … -->
t
n
{\displaystyle h=t_{1}t_{2}\dotsc t_{n}}
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
g
≤ ≤ -->
h
{\displaystyle g\leq h}
G
{\displaystyle G}
연결 콤팩트 리 군 이라고 하자.
G
{\displaystyle G}
극대 원환면
T
⊆ ⊆ -->
G
{\displaystyle T\subseteq G}
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
바일 군 은 다음과 같다.
W
-->
(
G
,
T
)
=
N
G
-->
(
T
)
/
Z
G
-->
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {W} (G,T)=\operatorname {N} _{G}(T)/\operatorname {Z} _{G}(T)}
여기서
N
G
-->
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{G}(T)}
정규화 부분군 을,
Z
G
-->
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Z} _{G}(T)}
중심화 부분군 을 뜻한다. 연결 콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
극대 원환면 들은 서로 켤레 동치이므로, 바일 군은 군의 동형 아래 유일하게 정의된다.
단순 리 군 과 단순 리 대수 는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.
단순 근계는 모두 분류되었고, 그 바일 군은 다 알려져 있다. 바일 군의 목록은 다음과 같다.
근계
리 군
바일 군의 크기
바일 군
An n ≥ 1)
SU(n +1) (n +1)!
S n+1
Bn n ≥ 2)
SO(2n +1) 2n n !
(Z2 )n ⋊S n
Cn n ≥ 3)
USp(2n ) 2n n !
(Z2 )n ⋊S n
Dn n ≥ 4)
SO(2n ) 2n −1n !
(Z2 )n−1 ⋊S n
E6
E6 27 ×34 ×5
Aut
-->
(
PSU
-->
(
4
;
F
2
)
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\operatorname {PSU} (4;\mathbb {F} _{2}))}
E7
E7 210 ×34 ×5×7
Z
/
2
× × -->
P
S
Ω Ω -->
-->
(
7
;
F
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} _{2})}
E8
E8 214 ×35 ×52 ×7
O
+
-->
(
8
;
F
2
)
{\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(8;\mathbb {F} _{2})}
F4
F4 27 ×32
O
+
-->
(
4
;
F
3
)
{\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(4;\mathbb {F} _{3})}
G2
G2 22 ×3
D 6
Bn n 번사이드 정리 에 따라, F4 의 바일 군은 가해군 이다.
작은 바일 군들의 예는 다음과 같다.
A1
가장 간단한 (자명군 이 아닌) 바일 군은
A
1
{\displaystyle A_{1}}
W
-->
(
A
1
)
≅ ≅ -->
Sym
-->
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{1})\cong \operatorname {Sym} (2)}
a
{\displaystyle a}
W
-->
(
A
1
)
=
{
ϵ ϵ -->
,
a
}
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{1})=\{\epsilon ,a\}}
그 브뤼아 순서의 하세 도표 는 다음과 같다.
a
|
ε
A2
예를 들어,
A
2
{\displaystyle A_{2}}
Sym
-->
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
W
-->
(
A
2
)
=
{
ϵ ϵ -->
,
a
,
b
,
a
b
,
b
a
,
a
b
a
=
b
a
b
}
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{2})=\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba=bab\}}
그 브뤼아 순서의 하세 도표 는 다음과 같다.
aba
/ \
ab ba
| \/ |
| /\ |
a b
\ /
ε
2 = C2 마찬가지로,
B
2
=
C
2
{\displaystyle B_{2}=C_{2}}
Dih
-->
(
Sym
-->
(
4
)
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (4))}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
W
-->
(
B
2
)
=
{
ϵ ϵ -->
,
a
,
b
,
a
b
,
b
a
,
a
b
a
,
b
a
b
,
a
b
a
b
=
b
a
b
a
}
{\displaystyle \operatorname {W} (B_{2})=\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba,bab,abab=baba\}}
이에 대하여, 브뤼아 순서의 하세 도표 는 다음과 같다.
abab
/ \
aba bab
| \/ |
| /\ |
ab ba
| \/ |
| /\ |
a b
\ /
ε
G2
G
2
{\displaystyle G_{2}}
Dih
-->
(
Sym
-->
(
6
)
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (6))}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
W
-->
(
G
2
)
=
Dih
-->
(
Sym
-->
(
6
)
)
=
⟨ ⟨ -->
a
,
b
|
1
=
a
2
=
b
2
=
(
a
b
)
6
⟩ ⟩ -->
=
{
ϵ ϵ -->
,
a
,
b
,
a
b
,
b
a
,
a
b
a
,
b
a
b
,
a
b
a
b
,
b
a
b
a
,
a
b
a
b
a
,
b
a
b
a
b
,
a
b
a
b
a
b
=
b
a
b
a
b
a
}
{\displaystyle \operatorname {W} (G_{2})=\operatorname {Dih} (\operatorname {Sym} (6))=\langle a,b|1=a^{2}=b^{2}=(ab)^{6}\rangle =\{\epsilon ,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,ababa,babab,ababab=bababa\}}
이에 대한 브뤼아 순서의 하세 도표 는 다음과 같다.
ababab
/ \
ababa babab
| \/ |
| /\ |
abab baba
| \/ |
| /\ |
aba bab
| \/ |
| /\ |
ab ba
| \/ |
| /\ |
a b
\ /
ε
A3
A
3
{\displaystyle A_{3}}
W
-->
(
A
3
)
≅ ≅ -->
Sym
-->
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{3})\cong \operatorname {Sym} (4)}
딘킨 도표 의 꼭짓점에 대응하는 각 기본 반사를 순서대로
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
W
-->
(
A
3
)
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{3})}
W
-->
(
A
3
)
=
{
ϵ ϵ -->
,
a
,
b
,
c
,
a
b
,
b
a
,
a
c
=
c
a
,
b
c
,
c
b
,
a
b
c
,
b
c
b
,
a
c
b
,
b
a
c
,
a
b
a
,
c
b
a
,
a
b
c
b
,
a
b
a
c
,
b
a
c
b
,
b
c
b
a
,
a
c
b
a
,
a
b
a
c
b
,
a
b
c
b
a
,
b
a
c
b
a
,
a
b
a
c
b
a
}
{\displaystyle \operatorname {W} (A_{3})={\begin{matrix}\{\epsilon ,\\a,b,c,\\ab,ba,ac=ca,bc,cb,\\abc,bcb,acb,bac,aba,cba,\\abcb,abac,bacb,bcba,acba,\\abacb,abcba,bacba,\\abacba\}\end{matrix}}}
