번사이드 정리

이 문서는 가해군에 대한 정리에 관한 것입니다. 군의 작용의 궤도 수에 대한 정리에 대해서는 번사이드 보조정리 문서를 참고하십시오.

군론에서 번사이드 정리(영어: Burnside theorem)는 크기의 소인수가 두 개 이하인 군은 가해군이라는 정리다.

정의

번사이드 정리에 따르면, 유한군 ${\displaystyle G}$의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 ${\displaystyle G}$는 가해군이다.

${\displaystyle |G|=p^{m}q^{n}}$

여기서 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$는 소수이며, ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$은 음이 아닌 정수이다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1895년에 이 정리를 ${\displaystyle p^{m}q}$ 꼴의 군에 대하여 증명하였다.^[1] 카미유 조르당은 이 정리를 ${\displaystyle p^{m}q^{2}}$ 꼴에 대하여 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인 ${\displaystyle p^{m}q^{n}}$ 꼴의 군에 대하여 증명하였다.^[2]

증명

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.

1. 수학적 귀납법을 사용하여, ${\displaystyle |G|=p^{m}q^{n}}$인 유한 단순군 ${\displaystyle G}$가 순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 ${\displaystyle G}$가 순환군이 아니라고 가정하자.
2. ${\displaystyle n=0}$인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (${\displaystyle m>1}$인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 ${\displaystyle m,n\geq 1}$이라고 놓자.
3. 켤레류 공식(영어: class equation)에 따라서, ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle q}$에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, ${\displaystyle G}$가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 ${\displaystyle p^{r}}$인 켤레류를 갖는다 (${\displaystyle 0<r\leq m}$) 전자는 ${\displaystyle G}$가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 ${\displaystyle g\in G}$라고 하자.
4. 지표의 직교성을 사용하여, ${\displaystyle |\chi (g)|=\chi (1)}$인 ${\displaystyle G}$의 기약 지표 ${\displaystyle \chi }$가 존재한다.
5. ${\displaystyle G}$는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, ${\displaystyle G}$는 중심이 자명군이므로, 따라서 ${\displaystyle \chi (g)=\chi (1)}$이라면 ${\displaystyle x=1}$이어야 한다. 이는 모순이다.

각주

1. Frobenius, Georg (1895). “Über auflösbare Gruppen II”. 《Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin》 (독일어): 1027–1044. 
2. Burnside, William (1911). 《Theory of Groups of Finite Order》 (영어). JFM 40.0183.02.