나폴레옹 정리

나폴레옹 정리 도해

기하학에서 나폴레옹 정리(Napoléon定理, 영어: Napoleon theorem)는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.

정의

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외측에서 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$, ${\displaystyle E_{B}CA}$, ${\displaystyle E_{C}AB}$가 정삼각형이 되게 만드는 점 ${\displaystyle E_{A}}$, ${\displaystyle E_{B}}$, ${\displaystyle E_{C}}$를 잡고 (예를 들어 ${\displaystyle E_{A}}$는 ${\displaystyle BC}$에 대하여 ${\displaystyle A}$의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$, ${\displaystyle E_{B}CA}$, ${\displaystyle E_{C}AB}$의 무게 중심을 각각 ${\displaystyle N_{A}}$, ${\displaystyle N_{B}}$, ${\displaystyle N_{C}}$라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내측에서 삼각형 ${\displaystyle E_{A}'BC}$, ${\displaystyle E_{B}'AC}$, ${\displaystyle E_{C}'AB}$가 정삼각형이 되게 만드는 점 ${\displaystyle E_{A}'}$, ${\displaystyle E_{B}'}$, ${\displaystyle E_{C}'}$를 잡고 (예를 들어 ${\displaystyle E_{A}'}$는 ${\displaystyle BC}$에 대하여 ${\displaystyle A}$와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 ${\displaystyle E_{A}'BC}$, ${\displaystyle E_{B}'AC}$, ${\displaystyle E_{C}'AB}$의 무게 중심을 각각 ${\displaystyle N_{A}'}$, ${\displaystyle N_{B}'}$, ${\displaystyle N_{C}'}$라고 하자. 나폴레옹 정리에 따르면, 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$와 ${\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}$은 모두 정삼각형이다.

삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외측 나폴레옹 삼각형(外側Napoléon三角形, 영어: outer Napoleon triangle)이라고 하고, 삼각형 ${\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내측 나폴레옹 삼각형(內側Napoléon三角形, 영어: inner Napoleon triangle)이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

역사

1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드(영어: William Rutherford)가 《레이디스 다이어리》(영어: The Ladies' Diary)의 〈새로운 수학 문제〉(영어: New Mathematical Questions)란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.^[1]:495

프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.^[1]:497

증명

다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.

닮음을 통한 증명

외측 나폴레옹 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. ${\displaystyle N_{A}N_{B}}$와 ${\displaystyle N_{A}N_{C}}$에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로, ${\displaystyle N_{A}}$, ${\displaystyle N_{B}}$, ${\displaystyle N_{C}}$는 각각 정삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$, ${\displaystyle E_{B}CA}$, ${\displaystyle E_{C}AB}$의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히

${\displaystyle \angle N_{A}CB=30^{\circ }=\angle N_{B}CA}$

이며, 양변에 ${\displaystyle \angle ACB}$를 더하면

${\displaystyle \angle N_{A}CA=\angle N_{B}CB}$

를 얻는다. 또한

${\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}C,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}AC}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}C}$와 ${\displaystyle E_{A}AC}$는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}C}$를 ${\displaystyle C}$를 중심으로 30도 회전한 뒤 ${\displaystyle C}$를 중심으로 하고 ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 ${\displaystyle E_{A}AC}$를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{C}B}$와 ${\displaystyle E_{A}AB}$ 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$이다. 따라서

${\displaystyle N_{A}N_{B}={\frac {1}{\sqrt {3}}}E_{A}A=N_{A}N_{C}}$

가 성립한다.

외접원을 통한 증명

우선 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$, ${\displaystyle E_{B}CA}$, ${\displaystyle E_{C}AB}$의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자.^{[2]:61-63, §3.3} 편의상 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$, ${\displaystyle E_{B}CA}$의 외접원의 ${\displaystyle C}$가 아닌 교점을 ${\displaystyle P}$라고 하자. 편의상 ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$에 대하여 각각 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle BPC=180^{\circ }-\angle BE_{A}C=120^{\circ }}$

${\displaystyle \angle APC=180^{\circ }-\angle AE_{B}C=120^{\circ }}$

이므로

${\displaystyle \angle APB=360^{\circ }-\angle BPC-\angle APC=120^{\circ }=180^{\circ }-\angle E_{C}AB}$

이며, ${\displaystyle P}$는 삼각형 ${\displaystyle E_{C}AB}$의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.

이제 외측 나폴레옹 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 ${\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}}$에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$와 ${\displaystyle E_{B}CA}$의 외접원의 중심선 ${\displaystyle N_{A}N_{B}}$는 공통현 ${\displaystyle PC}$의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$와 ${\displaystyle E_{C}AB}$의 외접원의 중심선 ${\displaystyle N_{A}N_{C}}$ 역시 공통현 ${\displaystyle PB}$의 수직 이등분선이다. 따라서

${\displaystyle \angle N_{B}N_{A}N_{C}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\angle BPC=60^{\circ }}$

이다.

삼각법적 증명

외측 나폴레옹 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$의 변 ${\displaystyle N_{A}N_{B}}$의 길이를 원래 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 변의 길이 ${\displaystyle BC=a}$, ${\displaystyle CA=b}$, ${\displaystyle AB=c}$에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변 ${\displaystyle N_{B}N_{C}}$, ${\displaystyle N_{C}N_{A}}$의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}C}$에서

${\displaystyle \angle N_{A}CN_{B}=C+60^{\circ }}$

${\displaystyle N_{A}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}a,\;N_{B}C={\frac {1}{\sqrt {3}}}b}$

이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{N_{A}N_{B}}^{2}&=N_{A}C^{2}+N_{B}C^{2}-2\cdot N_{A}C\cdot N_{B}C\cdot \cos \angle N_{A}CN_{B}\\&={\frac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C+60^{\circ }))\\&={\frac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}-ab\cos C+{\sqrt {3}}ab\sin C\right)\\&={\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S)\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle S}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 넓이이다. 마지막 함수는 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.

나폴레옹 삼각형의 성질

변의 길이와 넓이

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 길이를 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$라고 하고, 넓이를 ${\displaystyle S}$라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$, ${\displaystyle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}$의 변의 길이는

${\displaystyle N_{A}N_{B}=N_{B}N_{C}=N_{C}N_{A}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{6}}}}$

${\displaystyle N_{A}'N_{B}'=N_{B}'N_{C}'=N_{C}'N_{A}'={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{6}}}}$

이며, 넓이는

${\displaystyle S_{\triangle N_{A}N_{B}N_{C}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle S_{\triangle N_{A}'N_{B}'N_{C}'}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S}{8{\sqrt {3}}}}}$

이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.^{[2]:64, Theorem 3.38}

무게 중심

삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다.^{[2]:65, §3.3, Exercise 4} 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.

증명:^{[3]:178-179, §5F}

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 무게 중심을 ${\displaystyle G}$라고 하자. 편의상 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 ${\displaystyle T}$가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여

${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}}$

와

${\displaystyle T({\overrightarrow {XY}})}$

사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 ${\displaystyle T}$는 선형 변환이다. 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로

${\displaystyle {\overrightarrow {CE_{A}}}=T({\overrightarrow {CB}})}$

이며, 또한 ${\displaystyle N_{A}}$은 삼각형 ${\displaystyle E_{A}BC}$의 무게 중심이므로

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}E_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {CE_{A}}}+{\overrightarrow {N_{A}B}}+{\overrightarrow {N_{A}C}}\\&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+T({\overrightarrow {CB}})\end{aligned}}}$

이다. 마찬가지로,

${\displaystyle {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+T({\overrightarrow {AC}})}$

${\displaystyle {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}+T({\overrightarrow {BA}})}$

가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {0}}&={\overrightarrow {N_{A}B}}+2{\overrightarrow {N_{A}C}}+{\overrightarrow {N_{B}C}}+2{\overrightarrow {N_{B}A}}+{\overrightarrow {N_{C}A}}+2{\overrightarrow {N_{C}B}}\\&=3({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}})-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\\&=-3({\overrightarrow {GN_{A}}}+{\overrightarrow {GN_{B}}}+{\overrightarrow {GN_{C}}})\end{aligned}}}$

를 얻는다. 즉, ${\displaystyle G}$는 외측 나폴레옹 삼각형 ${\displaystyle N_{A}N_{B}N_{C}}$의 무게 중심이다.

일반화

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외측에서

${\displaystyle P+Q+R=180^{\circ }}$

를 만족시키는 점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$를 잡자. 그렇다면, 삼각형 ${\displaystyle PBC}$, ${\displaystyle AQC}$, ${\displaystyle ABR}$의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 ${\displaystyle PBC}$, ${\displaystyle AQC}$, ${\displaystyle ABR}$가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외측에서 삼각형 ${\displaystyle PBC}$, ${\displaystyle AQC}$, ${\displaystyle ABR}$가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$를 잡고, 삼각형 ${\displaystyle PBC}$, ${\displaystyle AQC}$, ${\displaystyle ABR}$의 무게 중심을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$라고 하자. 그렇다면, 삼각형 ${\displaystyle DEF}$는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 ${\displaystyle PBC}$, ${\displaystyle AQC}$, ${\displaystyle ABR}$가 정삼각형인 특수한 경우이다.

같이 보기

• 나폴레옹의 문제
• 몰리 삼등분 정리

각주

1. Grünbaum, Branko (2012). “Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 119 (6): 496-501. doi:10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495. Zbl 1264.01010. 
2. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
3. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Napoleon's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Napoleon circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Napoleon point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Napoleon point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bogomolny, Alexander. “Napoleon’s theorem”. 《Cut the Knot》 (영어).