교환자 (환론)

환론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)와 반교환자(反交換子, 영어: anticommutator)는 두 원소 사이의 (반)교환 법칙이 실패하는 정도를 측정하는 이항 연산이다. 교환자의 기호는 ${\displaystyle [-,-]}$이며, 반교환자의 기호는 ${\displaystyle \{-,-\}}$이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in R}$가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다.

${\displaystyle [a,b]=ab-ba\in R}$

그 반교환자는 다음과 같다.

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba\in R}$

만약 ${\displaystyle R}$의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신

${\displaystyle [a,b]_{\pm }=ab\pm ba}$

가 사용되기도 한다.

등급 대수

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 자연수 등급 대수

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, 영어: graded commutator)를 정의할 수 있다.

${\displaystyle [a,b]_{\text{gr}}=ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba}$

이 연산은 간혹 대신 ${\displaystyle [-,-\}}$로 표기되기도 한다.

성질

교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.

정의에 따라, 임의의 환 ${\displaystyle R}$의 두 원소 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, ${\displaystyle rs=sr}$가 성립할 필요 충분 조건은 ${\displaystyle [r,s]=0}$인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, ${\displaystyle rs=-sr}$가 성립할 필요 충분 조건은 ${\displaystyle \{r,s\}=0}$인 것이다.

선형성

환 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle R}$ 위의 교환자와 반교환자는 ${\displaystyle K}$-겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-가군 준동형을 정의한다.

${\displaystyle [,]\colon R\otimes _{K}R\to R}$

${\displaystyle \{,\}\colon R\otimes _{K}R\to R}$

특히, 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle K}$-가군 준동형

${\displaystyle [a,-]\colon R\to R}$

${\displaystyle \{a,-\}\colon R\to R}$

이 존재한다. 특히, ${\displaystyle [a,-]}$의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.

리 대수 구조

교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle [r,r]=0\qquad \forall r\in R}$
• ${\displaystyle [r,s]=-[B,A]\qquad \forall r,s\in R}$
• (야코비 항등식) ${\displaystyle [r,[s,t]]+[s,[t,r]]+[t,[r,s]]=0\qquad \forall r,s\in R}$

이에 따라, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle K}$-결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 ${\displaystyle K}$-리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

미분 대수 구조

교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

• (곱 규칙) ${\displaystyle [r,st]=[r,s]t+s[r,t]\qquad \forall r,s,t\in R}$
• (곱 규칙) ${\displaystyle [rs,t]=r[s,t]+[r,t]s\qquad \forall r,s,t\in R}$

이에 따라, 임의의 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle [r,-]}$ (또는 ${\displaystyle [-,r]}$)를 부여하면 ${\displaystyle R}$는 미분 대수를 이룬다.

기타 항등식

이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.

• ${\displaystyle [r,st]=[rs,t]+[ts,r]\qquad \forall r,s,t\in R}$
• ${\displaystyle [rst,u]=rs[t,u]+r[s,u]t+[r,u]st\qquad \forall r,s,t,u\in R}$
• ${\displaystyle [[[r,s],t],u]+[[[s,t],u],r]+[[[t,u],r],s]+[[[u,r],s],t]=[[r,t],[s,u]]\qquad \forall r,s,t,u\in R}$

작용소의 경우

힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

${\displaystyle \exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots }$

응용

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
• Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticommutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Commutator”. 《nLab》 (영어). 
• “Anti-commutator”. 《nLab》 (영어). 
• “Graded commutator”. 《nLab》 (영어).