H-공간

H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 ${\displaystyle \mu \colon X\times X\to X}$
• 항등원 ${\displaystyle e\in X}$: 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대해 ${\displaystyle x\mapsto \mu (x,e)}$와 ${\displaystyle x\mapsto \mu (e,x)}$가 모두 항등 함수 ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다.

쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 ${\displaystyle \mu \colon X\to X\vee X}$
• 항등원 ${\displaystyle e\in X}$

예와 성질

위상군

위상군 ${\displaystyle G}$와 그 연산 ${\displaystyle G\times G\to G}$는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$밖에 없다. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

${\displaystyle n\geq 1}$일 경우 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

• 0차원 세포 1개 ${\displaystyle \bullet }$. 이는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 적도 위의 한 점이다.
• ${\displaystyle n-1}$차원 세포 1개. 즉, ${\displaystyle n-1}$차원 뼈대는 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$이다. 이는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 적도에 해당한다.
• ${\displaystyle n}$차원 세포 2개. 이들은 각각 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 북반구와 남반구에 대응한다.

적도에 있는 ${\displaystyle n-1}$차원 세포 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}}$에 대한 몫공간 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}}$을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

${\displaystyle w_{n}\colon \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}}$

이 몫공간 함수 ${\displaystyle w_{n}}$을 연산자로 삼아서 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 그 축소 현수 ${\displaystyle \Sigma X}$는 쌍대 H-공간을 이룬다. ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=(X\times \mathbb {S} ^{1})/(X\vee \mathbb {S} ^{1})}$ 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle (\operatorname {id} _{X}\wedge w_{1})\colon X\wedge \mathbb {S} ^{1}\to X\wedge (\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1})\cong (X\wedge \mathbb {S} ^{1})\vee (X\wedge \mathbb {S} ^{1})}$

여기서 ${\displaystyle \wedge }$는 분쇄곱, ${\displaystyle \vee }$는 쐐기합이고, ${\displaystyle w_{1}}$은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 ${\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\simeq \mathbb {S} ^{n}}$이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 ${\displaystyle \Omega X}$는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, ${\displaystyle \Omega X}$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle m\colon (\gamma ,\gamma ')\mapsto (\gamma \vee \gamma ')\circ w_{1}}$

여기서

${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\to X}$

${\displaystyle \gamma \vee \gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}\to X}$

${\displaystyle w_{1}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}}$

이다.

에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군 ${\displaystyle G}$ 및 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 ${\displaystyle K(G,n)}$는 다른 공간의 고리 공간이다.

${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 ${\displaystyle K(G,n)}$은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 ${\displaystyle G}$ 및 ${\displaystyle n\geq 3}$의 경우 피터슨 공간 ${\displaystyle P(G,n)}$는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

${\displaystyle P(G,n)\simeq \Sigma P(G,n-1)}$

그러므로 피터슨 공간 ${\displaystyle P(G,n)}$은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간 ${\displaystyle X}$으로 가는 호모토피류 ${\displaystyle [\mathbb {S} ^{n},X]_{\bullet }}$로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 ${\displaystyle h\colon \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}$에 의해 정의된다:

${\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(h(x))}$

일반적으로, 쌍대 H-공간 ${\displaystyle (X,\mu )}$에서 공간 ${\displaystyle Y}$로 가는 호모토피류 ${\displaystyle [X,Y]_{\bullet }}$ 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))}$

거꾸로 공간 ${\displaystyle X}$에서 H-공간 ${\displaystyle (Y,\mu )}$로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto \mu (f(x),g(x))}$

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 ${\displaystyle [X,Y]_{\bullet }}$은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 ${\displaystyle \Sigma }$와 고리 공간 ${\displaystyle \Omega }$는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

${\displaystyle [X,\Omega Y]_{\bullet }\cong [\Sigma X,Y]_{\bullet }}$

특히, ${\displaystyle \Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}}$이므로 호모토피 군에 대해 ${\displaystyle \pi _{n-1}(\Omega X)\cong \pi _{n}(X)}$가 성립한다.

역사

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.^[1]

같이 보기

• 위상군
• 체흐 코호몰로지
• 호프 대수

참고 문헌

1. J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.