초한수
칸토어 수학 에서 초한수 (超限數, 영어 : transfinite number )는 유한 하지 않은 순서수 와 기수 를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한 은 아니다. 게오르크 칸토어 가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다.
칸토어가 정의한 순서수 는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서 가 부여되었고, 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 집합이되, 둘 사이에 순서를 보존 하는 일대일 대응 이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다. 가장 작은 초한 순서수
ω ω -->
{\displaystyle \omega }
양의 정수 의 집합
1
<
2
<
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle 1<2<\cdots }
ω ω -->
+
1
{\displaystyle \omega +1}
1
<
2
<
⋯ ⋯ -->
<
ω ω -->
{\displaystyle 1<2<\cdots <\omega }
ω ω -->
+
2
{\displaystyle \omega +2}
1
<
2
<
⋯ ⋯ -->
<
ω ω -->
<
ω ω -->
+
1
{\displaystyle 1<2<\cdots <\omega <\omega +1}
[ 1] :§41.8
ω ω -->
,
ω ω -->
+
1
,
… … -->
,
ω ω -->
2
,
ω ω -->
2
+
1
,
… … -->
,
ω ω -->
3
,
ω ω -->
3
+
1
,
… … -->
,
ω ω -->
2
,
… … -->
,
ω ω -->
3
,
… … -->
,
ω ω -->
ω ω -->
,
… … -->
,
ω ω -->
ω ω -->
ω ω -->
,
… … -->
{\displaystyle \omega ,\omega +1,\dots ,\omega 2,\omega 2+1,\dots ,\omega 3,\omega 3+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots }
마찬가지로, 칸토어가 정의한 기수 는 집합 에서 두 집합 사이에 일대일 대응 이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는다. 가장 작은 초한 기수
ℵ ℵ -->
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
알레프 0 )은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 마찬가지로
ℵ ℵ -->
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
ℵ ℵ -->
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
ℵ ℵ -->
2
{\displaystyle \aleph _{2}}
ℵ ℵ -->
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
[ 1] :§41.8
ℵ ℵ -->
0
,
ℵ ℵ -->
1
,
… … -->
,
ℵ ℵ -->
ω ω -->
,
… … -->
{\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots ,\aleph _{\omega },\dots }
19세기 말에 게오르크 칸토어 가 처음 도입하였다.[ 1] :§41.8
↑ 가 나 다 Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 3》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506137-3
