비표준 해석학 (非標準解析學, 영어 : nonstandard analysis )은 초실수 와 그 위의 함수 에 대하여 연구하는 해석학 의 한 분야이다.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실수체 이고,
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
자연수 의 모노이드 이라고 하자. 그렇다면
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
수열 들의 집합이다. 초실수 의 체
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
극대 필터
F
⊂ ⊂ -->
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
프레셰 필터 (여유한 집합들의 필터 )를 포함한다.) 이러한 극대 필터 는 선택 공리 에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터 를 사용하여, 두 수열
u
,
v
∈ ∈ -->
R
N
{\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
동치 관계 를 줄 수 있다.
u
∼ ∼ -->
v
⟺ ⟺ -->
{
n
∈ ∈ -->
N
: : -->
u
n
=
v
n
}
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle u\sim v\iff \{n\in \mathbb {N} \colon u_{n}=v_{n}\}\in {\mathcal {F}}}
이 동치관계 에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체 를 이루며, 이를 초실수
∗ ∗ -->
R
=
R
N
/
F
{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathcal {F}}}
실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수 를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.
함수
∗ ∗ -->
f
: : -->
R
∗ ∗ -->
→ → -->
R
∗ ∗ -->
{\displaystyle {}^{*}f\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}}
a
∈ ∈ -->
R
∗ ∗ -->
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}}
극한 은 다음과 같다.
lim
x
→ → -->
a
∗ ∗ -->
f
(
x
)
=
L
⟺ ⟺ -->
∀ ∀ -->
b
≈ ≈ -->
a
: : -->
f
(
b
)
≈ ≈ -->
L
(
L
∈ ∈ -->
R
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=L\iff \forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad (L\in \mathbb {R} )}
함수
∗ ∗ -->
f
: : -->
∗ ∗ -->
R
→ → -->
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} }
연속함수 라고 한다.
모든
x
,
y
∈ ∈ -->
R
∗ ∗ -->
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{*}}
x
≈ ≈ -->
y
{\displaystyle x\approx y}
f
(
x
)
≈ ≈ -->
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\approx f(y)}
함수
∗ ∗ -->
f
: : -->
∗ ∗ -->
R
→ → -->
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R} }
x
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
ϵ ϵ -->
1
,
ϵ ϵ -->
2
∈ ∈ -->
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2}\in {}^{*}\mathbb {R} }
∗ ∗ -->
f
(
x
+
ϵ ϵ -->
1
)
− − -->
f
(
x
)
ϵ ϵ -->
1
≈ ≈ -->
∗ ∗ -->
f
(
x
+
ϵ ϵ -->
2
)
− − -->
f
(
x
)
ϵ ϵ -->
2
{\displaystyle {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{1})-f(x)}{\epsilon _{1}}}\approx {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{2})-f(x)}{\epsilon _{2}}}}
이 경우
∗ ∗ -->
f
{\displaystyle {}^{*}f}
x
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
미분 가능 하다고 하고,
f
{\displaystyle f}
도함수 는
∗ ∗ -->
f
′
(
x
)
=
st
-->
(
∗ ∗ -->
f
(
x
+
ϵ ϵ -->
)
− − -->
∗ ∗ -->
f
(
x
)
ϵ ϵ -->
)
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle {}^{*}f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{}^{*}f(x+\epsilon )-{}^{*}f(x)}{\epsilon }}\right)\in \mathbb {R} }
이다.
1차 논리 로 정의할 수 있는 실함수
f
: : -->
R
→ → -->
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
∗ ∗ -->
f
: : -->
R
→ → -->
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle {}^{*}f\colon {}^{\mathbb {R} }\to {}^{*}\mathbb {R} }
에 대하여, 다음이 동치 이다.
lim
x
→ → -->
a
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}
lim
x
→ → -->
a
∗ ∗ -->
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=b}
또한, 다음이 동치 이다.
a
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
a
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
∗ ∗ -->
f
{\displaystyle {}^{*}f}
또한, 다음이 동치이다.
a
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
f
′
(
a
)
=
b
{\displaystyle f'(a)=b}
a
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
∗ ∗ -->
f
{\displaystyle {}^{*}f}
f
′
(
a
)
=
b
{\displaystyle f'(a)=b}
초실수 체계에서, 리만 적분 은 a , a + dx , a + 2dx , ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소 의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx 는 무한소이며, n 은 무한의 초정수 이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx 인 관계를 따른다.[ 1]
함수
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
d
x
∈ ∈ -->
∗ ∗ -->
R
{\displaystyle dx\in {}^{*}\mathbb {R} }
x
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
f
′
(
x
)
=
st
-->
(
(
x
+
d
x
)
2
− − -->
x
2
d
x
)
=
st
-->
(
2
x
+
d
x
)
=
2
x
{\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)=\operatorname {st} (2x+dx)=2x}
