수학에서 하이퍼 연산 수열 (Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산 이라 불리는 덧셈 , 곱셈 , 거듭제곱 으로 시작하는 이항연산 수열 이다. 이 수열의 n 번째 하이퍼 연산은 n 의 그리스어 접두사에 접미사 -ation 을 붙인 단어로 불리며, 커누스 윗화살표 표기법 에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다.
하이퍼 연산 수열 은 덧셈 (n = 1), 곱셈 (n = 2), 거듭제곱 (n = 3)으로 시작하는,
H
n
{\displaystyle H_{n}}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
이항연산 수열 이다. 하이퍼 연산 수열의 매개변수 는 거듭제곱과 유사한 용어를 쓴다; 따라서 a 는 밑 b 는 지수 하이퍼 지수 ), n 은 계수 등급 )이다..
커누스 윗화살표 표기법을 이용하면, 우리는 하이퍼 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.
H
n
(
a
,
b
)
=
a
↑ ↑ -->
n
− − -->
2
b
=
{
b
+
1
if
n
=
0
a
if
n
=
1
,
b
=
0
0
if
n
=
2
,
b
=
0
1
if
n
≥ ≥ -->
3
,
b
=
0
H
n
− − -->
1
(
a
,
H
n
(
a
,
b
− − -->
1
)
)
otherwise
{\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1,b=0\\0&{\text{if }}n=2,b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
(otherwise는 위에 주어진 조건들이 성립하지 않을 때를 뜻한다.)
이는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 다음에 무엇인지에 대한 답으로 해석할 수 있다. 참고로
a
+
b
=
1
+
(
a
+
(
b
− − -->
1
)
)
{\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}
a
× × -->
b
=
a
+
(
a
× × -->
(
b
− − -->
1
)
)
{\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}
a
b
=
a
× × -->
(
a
(
b
− − -->
1
)
)
{\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}
는 하이퍼 연산자들의 관계를 나타내며, 더 높은 연산자들을 정의할 수 있다. 높은 연산자에는 작은 수를 대입해도 매우 큰 숫자가 나온다. 더 자세한 내용을 보려면 테트레이션 문서를 보라.
일반적으로, 하이퍼 연산자들은 이전 하이퍼 연산자의 반복을 거듭하는 것을 뜻한다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 개념은 모두 하이퍼 연산이다; 덧셈 연산은 1을 거듭 더하는 것이고, 곱셈은 한 숫자를 거듭 더하는 것이며, 거듭제곱은 한 숫자를 거듭 곱하는 것이다.
다음은 처음 여섯 개의 하이퍼 연산자이다.
n
연산
정의
이름
영역
0
b
+
1
{\displaystyle b+1}
1
+
1
+
1
+
1
+
⋯ ⋯ -->
+
1
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}
hyper0, 증분(增分), 다음수
임의의 b
1
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
+
1
+
1
+
1
+
⋯ ⋯ -->
+
1
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}
hyper1, 덧셈
임의의 a,b
2
a
b
{\displaystyle ab}
a
+
a
+
a
+
⋯ ⋯ -->
+
a
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}}
hyper2, 곱셈
임의의 a,b
3
a
↑ ↑ -->
b
=
a
b
{\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}
a
⋅ ⋅ -->
a
⋅ ⋅ -->
a
⋅ ⋅ -->
a
⋅ ⋅ -->
… … -->
⋅ ⋅ -->
a
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}}
hyper3, 거듭제곱
a > 0, b 실수, 또는 a 가 0이 아닌 실수, b 가 정수
4
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
b
=
b
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}
a
↑ ↑ -->
a
↑ ↑ -->
a
↑ ↑ -->
⋯ ⋯ -->
↑ ↑ -->
a
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} } \atop {b}}}
hyper4, 테트레이션
a > 0, 정수 b ≥ −1
5
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->↑ ↑ -->
b
=
a
↑ ↑ -->
3
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{3}b}
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
⋯ ⋯ -->
↑ ↑ -->↑ ↑ -->
a
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} } \atop {b}}}
hyper5, 펜테이션
a 와 b 는 정수, a > 0, b ≥ 0
6
a
↑ ↑ -->↑ ↑ -->↑ ↑ -->↑ ↑ -->
b
=
a
↑ ↑ -->
4
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{4}b}
a
↑ ↑ -->
3
a
↑ ↑ -->
3
⋯ ⋯ -->
↑ ↑ -->
3
a
⏟ ⏟ -->
b
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow ^{3}a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a} } \atop {b}}}
hyper6, 헥세이션
a 와 b 는 정수, a > 0, b ≥ 0
하이퍼 연산이 맨 처음으로 토론된 경우는 1914년 알베르트 베네트 가 "가환 하이퍼 연산"에 대한 이론을 개발했을 때이다. 약 12년 후, 빌헬름 아커만 이 하이퍼 연산 수열과 어느 정도 연관성이 있는 함수
ϕ ϕ -->
(
a
,
b
,
n
)
{\displaystyle \phi (a,b,n)}
[ 1] 아커만 함수 는 같은 반복 규칙을 사용했지만, 현대 하이퍼 연산과 최소 2가지의 다른 점이 있다.
그리고 1947년, Reuben Goodstein [ 2]
G
(
n
,
a
,
b
)
{\displaystyle G(n,a,b)}
커누스 윗화살표 표기법 에서는
a
↑ ↑ -->
n
− − -->
2
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}
다음 목록은 하이퍼 연산을 표기하는 여러 가지 방법이다.
이름
표기법
비고
기본 화살표 표기법
a
↑ ↑ -->
n
− − -->
2
b
=
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b=H_{n}(a,b)}
커누스가 최초로 사용[ 3]
굿스틴의 표기법
G
(
n
,
a
,
b
)
{\displaystyle G(n,a,b)}
굿스틴(Goodstein)이 최초로 사용[ 2]
초기 아커만 함수
A
(
a
,
b
,
n
− − -->
1
)
=
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle A(a,b,n-1)=H_{n}(a,b)}
하이퍼 연산과는 약간 다르다.
현대 아커만 함수
A
(
n
,
b
− − -->
3
)
+
3
=
H
n
(
2
,
b
)
{\displaystyle A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)}
밑이 2일 때의 하이퍼 연산과 동일하다.
냄비어의 표기법
a
⊗ ⊗ -->
n
b
{\displaystyle a\otimes ^{n}b}
냄비어(Nambiar)가 최초로 사용[ 4]
상자 표기법
a
n
b
{\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}
Rubtsov과 Romerio가 최초로 사용[ 5]
어깨글자 표기법
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}^{(n)}b}
로버트 무나포(Robert Munafo)가 최초로 사용[ 6]
아래글자 표기법
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}_{(n)}b}
작은 하이퍼 연산을 위해 무나포가 최초로 사용[ 6]
ASCII 표기법
a [n] b
많은 온라인 포럼에서 사용; 상자 표기법을 기본으로 함.
