유계 집합

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유계 집합(위)과 유계가 아닌 집합(아래)

수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 부분 집합이다. 유계성은 순서나 거리를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

정의

유계 집합은 원순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 무계 집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

원순서 집합의 유계 집합

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다면, ${\displaystyle S}$가 위로 유계(영어: bounded from above)라고 하며, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle S}$의 상계(영어: upper bound)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle s\in X}$에 대하여, ${\displaystyle s\lesssim x}$

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다면, ${\displaystyle S}$가 아래로 유계(영어: bounded from below)라고 하며, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle S}$의 하계(영어: lower bound)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle s\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\lesssim s}$

유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

거리 공간의 유계 집합

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset X}$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다면, ${\displaystyle S}$가 유계 집합이라고 한다.

${\displaystyle \sup _{s\in S}d(x,s)<\infty }$

만약 ${\displaystyle M}$ 전체가 유계라면, ${\displaystyle M}$은 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

위상 벡터 공간의 유계 집합

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset V}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle S}$를 (폰 노이만) 유계 집합이라고 한다.

• 영벡터의 임의의 근방 ${\displaystyle N\ni 0}$에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 ${\displaystyle a\in \mathbb {K} }$가 존재한다.

  ${\displaystyle S\subset aN}$

• 영벡터의 임의의 근방 ${\displaystyle N\ni 0}$에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle a\in \mathbb {K} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |a|\geq r}$라면 ${\displaystyle S\subset aN}$
• 임의의 점렬 ${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }\subset S}$ 및 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {K} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle a_{n}\to 0}$이라면, ${\displaystyle a_{n}s_{n}\to 0}$이다.^{[1]:23, Theorem 1.30}

이때

${\displaystyle aN=\{an\colon n\in N\}}$

이다.

서로 다른 정의의 호환

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 국소 볼록 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

예

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에서,

• 모든 콤팩트 집합은 유계 집합이다. 특히,
  • 모든 유한 집합은 유계 집합이다.
  • 모든 상대 콤팩트 집합은 (콤팩트 집합의 부분 집합이므로) 유계 집합이다.
• 반대로, 모든 유계 집합은 약한 위상에 대한 상대 콤팩트 집합이다.
• 모든 코시 점렬은 유계 집합이지만, 코시 그물이 유계 집합일 필요는 없다.
• 만약 ${\displaystyle V}$가 하우스도르프 공간이라면, ${\displaystyle V}$의 모든 (영공간이 아닌) 부분 공간은 유계 집합이 아니다.

성질

• 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
• 집합 A의 모든 가산 부분집합이 유계이면 집합 A는 유계이다.

연산에 대한 닫힘

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에서,

• 유계 집합의 부분 집합은 자명하게 유계 집합이다.
• 유계 집합의 폐포는 유계 집합이다.
• 만약 ${\displaystyle V}$가 국소 볼록 공간이라면, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면, ${\displaystyle 0<p<1}$인 ${\displaystyle L^{p}}$공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
• 유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계 집합이다.

유계 함수와 유계 작용소

 이 부분의 본문은 유계 함수입니다.

 이 부분의 본문은 유계 작용소입니다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ 사이의 모든 연속 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$는 유계 작용소(즉, 유계 집합의 상은 유계 집합)이다. 만약 ${\displaystyle V}$가 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소 ${\displaystyle T\colon V\to W}$는 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환은 유계 함수일 수 없다.)

국소 유계 공간

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에서, 영벡터 ${\displaystyle 0\in V}$가 유계 근방을 갖는다면, ${\displaystyle V}$가 국소 유계 공간(영어: locally bounded space)이라고 한다.

모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.^{[1]:13, Theorem 1.15(c)}

증명:

${\displaystyle B\ni 0}$가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라

${\displaystyle \{(1/n)B\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$

가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-국소 볼록 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 반노름화 가능 공간이다.
• 국소 유계 공간이다.

일반화

유계 집합의 정의는 위상 가군으로 일반화 할 수 있다. 위상환 R에 있는 위상 가군 M의 부분집합 A는 0_M의 모든 근방 N에 대해서 w A ⊂ N가 성립하도록 하는 0_R의 근방 w이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

같이 보기

• 상한과 하한
• 유계 함수
• 순서론
• 완전 유계 공간
• 경계점

각주

1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 44–46쪽. 
• H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM 3. Springer-Verlag. 25–26쪽. ISBN 0-387-05380-8. 

외부 링크

• “Bounded set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.