반단순환

환론에서 반단순환(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반단순환이라고 한다.

• 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• ${\displaystyle R}$의 오른쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle {\text{Mod-}}R}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
• 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
• (아르틴-웨더번 정리 영어: Artin–Wedderburn theorem) 유한 개의 나눗셈환들 ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{k}}$에 대한 직접곱 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}\operatorname {Mat} (n_{i};D_{i})}$과 동형이다.

성질

모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]:173

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.^{[1]:173, Proposition 11.7}

반단순환	⇔	아르틴 반원시환	⇔	아르틴 반소환
		⇑
아르틴 단순환	⇔	아르틴 원시환	⇔	아르틴 소환

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 왼쪽 아르틴 환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 아르틴 축소환이다.
• 유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

분류

반단순환의 구조는 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)로서 완전히 알려져 있다.^{[2]:40, Theorem 1.11} 구체적으로, 반단순환 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, 정의에 따라 ${\displaystyle _{R}R}$는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다.

${\displaystyle _{R}R=\bigoplus _{i=1}^{k}{}_{R}M_{i}^{\oplus n_{i}}\qquad (i\neq j\implies M_{i}\not \cong M_{j})}$

이 경우,

${\displaystyle R^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {End} (_{R}R)\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} _{R}(M_{i}))}$

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} (_{R}R)^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i}))^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} })}$

가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} }}$는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

예

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다.

바일 대수 ${\displaystyle \mathbb {Q} \langle x,p\rangle /(xp-px-1)}$는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다.

복소수 행렬 대수

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 대수

${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$

가 주어졌을 때, 만약

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A^{*}\colon A\in {\mathcal {A}}\}}$

라면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 반단순 대수이다. (여기서 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 에르미트 수반이다.)

증명:

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 반원시환임(즉, 제이컵슨 근기가 ${\displaystyle \{0\}}$임)을 보이면 족하다.

임의의 ${\displaystyle M\in {\sqrt {\mathcal {A}}}}$라고 하자. 그렇다면,

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기 ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathcal {A}})}$는 멱영 아이디얼이다.
2. 따라서 ${\displaystyle (M^{*}M)^{k}=0}$인 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다.
3. 그런데 ${\displaystyle M^{*}M}$은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서 ${\displaystyle M^{*}M=0}$이다.
4. 이에 따라, 임의의 ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$에 대하여 ${\displaystyle \|Mv\|^{2}=v^{*}M^{*}Mv=0}$이며, 즉 ${\displaystyle Mv=0}$이다.
5. 따라서 ${\displaystyle M=0}$이다.

마슈케 정리

유한군 ${\displaystyle G}$와 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌고, 또

${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}$

라고 하자. (즉, ${\displaystyle G}$의 크기는 ${\displaystyle K}$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 ${\displaystyle K[G]}$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 ${\displaystyle K[G]}$는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.^[3][4]

각주

1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
2. Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 144. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285. 
3. Maschke, Heinrich (1898). “Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 50 (4): 492–498. doi:10.1007/BF01444297. JFM 29.0114.03. MR 1511011. 
4. Maschke, Heinrich (1899). “Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007/BF01476165. JFM 30.0131.01. MR 1511061. 

외부 링크

• “Classical semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Wedderburn-Artin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semisimple Artinian ring”. 《Commalg》 (영어). 
• 이철희. “아틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)”. 《수학노트》.