トラクトリックス トラクトリックス (tractrix) 、牽引線 （けんいんせん）、引弧線 、犬曲線 、追跡線 とは、直交座標 の方程式
x
=
± ± -->
(
a
ln
-->
a
+
a
2
− − -->
y
2
y
− − -->
a
2
− − -->
y
2
)
=
± ± -->
(
a
s
e
c
h
− − -->
1
y
a
− − -->
a
2
− − -->
y
2
)
(
a
>
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\pm \left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)\\&=\pm \left(a\,{\rm {sech}}^{-1}{\frac {y}{a}}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)\quad (a>0)\end{aligned}}}
によって表される曲線 である。
棒 を引きずることによってできるトラクトリックスの軌跡。媒介変数表示 では
x
=
± ± -->
a
(
ln
-->
tan
-->
θ θ -->
2
+
cos
-->
θ θ -->
)
,
y
=
a
sin
-->
θ θ -->
,
θ θ -->
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
2
]
.
{\displaystyle x=\pm a\left(\ln \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta ,\quad \theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].}
と表される。ここで、座標原点 に犬 の飼い主が、y軸上の点 (0, a ) に長さ a のリード につながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡 がトラクトリックスになる。θ は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。
あるいは、
ϑ ϑ -->
=
θ θ -->
− − -->
π π -->
2
{\displaystyle \vartheta =\theta -{\frac {\pi }{2}}}
x
=
a
(
gd
− − -->
1
-->
ϑ ϑ -->
− − -->
sin
-->
ϑ ϑ -->
)
,
y
=
a
cos
-->
ϑ ϑ -->
{\displaystyle x=a\left(\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta -\sin \vartheta \right),\;y=a\cos \vartheta }
と表される。ただし、
gd
− − -->
1
-->
ϑ ϑ -->
{\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\vartheta }
グーデルマン関数 の逆関数 である。
さらに、
t
=
gd
− − -->
1
-->
ϑ ϑ -->
{\displaystyle t=\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta }
x
=
a
(
t
− − -->
tanh
-->
t
)
,
y
=
a
sech
-->
t
{\displaystyle x=a\left(t-\tanh t\right),\;y=a\operatorname {sech} t}
と表すこともできる。
カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス トラクトリックスの縮閉線 としてのカテナリー 常微分方程式
d
x
d
y
=
± ± -->
a
2
− − -->
y
2
y
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}}}
カテナリー
y
=
a
cosh
-->
x
a
{\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}}
伸開線 に相当し、y軸に対して線対称 であり、x軸を漸近線 に持つ。尖点 は (0, a ) 。区間
0
≤ ≤ -->
x
1
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
x
2
{\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x\leq x_{2}}
弧長 は
a
ln
-->
y
1
y
2
{\displaystyle a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}}
トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける曲率中心 [ 1] a 2 [ 2]
トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の面積 は
π π -->
a
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi a^{2}}{2}}}
a の円 の面積の半分）である[ 3]
トラクトリックスをその漸近線の周りに回転 させてできる回転体 [ 4] 表面積 は
4
π π -->
a
2
{\displaystyle 4\pi a^{2}}
a の球 の表面積）[ 5] 体積 は
2
π π -->
a
3
3
{\displaystyle {\frac {2\pi a^{3}}{3}}}
a の球の体積の半分）[ 6]
^ Pを表示する媒介変数として、前節に登場したもののうち θ を採用するとき、曲率半径OPは
a
|
cot
-->
θ θ -->
|
{\displaystyle a|\cot \theta \,|}
∫ ∫ -->
θ θ -->
2
θ θ -->
1
a
cot
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
=
a
ln
-->
sin
-->
θ θ -->
1
sin
-->
θ θ -->
2
=
a
ln
-->
y
1
y
2
{\displaystyle \int _{\theta _{2}}^{\theta _{1}}a\cot \theta {\rm {d}}\theta =a\ln {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}}
^ 結果として、Pを犬と見立てたとき、Oのx座標はx軸上を移動する飼い主のx座標に一致することとなる。
^
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
y
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y{\rm {d}}x}
マミコンの定理 （英語版 ） a の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。^ この回転体を構成する回転面 のことを擬球面 （トラクトロイド）と称する。
^ 媒介変数 θ の地点における線素片の弧長は
a
cot
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
{\displaystyle a\cot \theta {\rm {d}}\theta }
∫ ∫ -->
− − -->
π π -->
/
2
π π -->
/
2
2
π π -->
y
⋅ ⋅ -->
a
cot
-->
θ θ -->
d
θ θ -->
{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}2\pi y\cdot a\cot \theta {\rm {d}}\theta }
^
π π -->
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
y
2
d
x
{\displaystyle \pi \int _{-\infty }^{\infty }y^{2}{\rm {d}}x}
θ と θ + dθ a 、頂角 dθ の微小二等辺三角形 面積素片に分解し、各頂点を座標原点に（回転 を全く伴わない純粋平行移動 で）集約し並べ直すと、半径 a の半円が漸近線上にその直径を含む形で構成される。元の領域の各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心 距離は、当該半円に並べ直した各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離の半分に相当しているから、パップス＝ギュルダンの定理 により、求める体積は当該半円を漸近線の周りに回転させることにより生ずる半径 a の球の体積の半分であると解することができる。
![{\displaystyle x=\pm a\left(\ln \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta ,\quad \theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d784ed0ce3b1159e77f894ee4e85694eced530)
