分配法則

分配法則（ぶんぱいほうそく、英: Distributive property）は、数学の法則の一つ。

集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、

1. ${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$
2. ${\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c}$

が任意の元 a,b,c について成り立てば、この積は和に対して分配法則を満たすという。同じことを、積は和に対して分配的であるともいう。特に 1 を左分配法則、2 を右分配法則という。× が交換法則を満たすときには、1, 2 の区別はない。

分配法則は次のようなもので成り立つ。

• 実数の積は和に対して分配法則を満たす。
• 行列の積は和に対して分配法則を満たす。
• 集合の和は共通部分に対して分配的であり、共通部分は和に対して分配的である^[1]。また、共通部分は対称差に対して分配的である。
• 論理記号の論理和 (or) は論理積 (and) に対して分配的であり、論理積は論理和に対して分配的である^[2]。また、論理積は排他的論理和 (xor) に対して分配的である。

2つの二項演算の定義された集合を考えるとき、一方の他方に対する分配法則を仮定することが多い。例として、環を参照。

脚注

1. Distributive Laws at ProofWiki
2. Rule of Distribution at ProofWiki

関連項目

• 多項式の展開
• 因数分解
• 結合法則
• 交換法則
• 推移律
• 代数的構造
• 分配束（英語版）
• モナド間の分配法則（英語版）

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Distributive". mathworld.wolfram.com (英語).
• distributive law in nLab
• distributivity - PlanetMath.（英語）
• Definition:Distributive Operation at ProofWiki / General Distributivity Theorem at ProofWiki
• Smirnov, D.M. (2001), “Distributivity”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Distributivity