Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$rad^[1]. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S₃.

Costruzione

Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

• Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
• Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
• Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
• Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule

Indicando con ${\displaystyle l}$ il lato del triangolo, con ${\displaystyle P}$ il perimetro, con ${\displaystyle A}$ l'area, con ${\displaystyle b}$ la base e con ${\displaystyle h}$ l'altezza si ha:

Perimetro

${\displaystyle P=l\cdot 3}$

${\displaystyle l={\frac {P}{3}}}$

Area

${\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {l^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle h={\frac {A\cdot 2}{b}}}$

${\displaystyle b={\frac {A\cdot 2}{h}}}$

Altezza

${\displaystyle h=l\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Applicazioni del teorema di Pitagora

${\displaystyle h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {l^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {4}}}={\frac {{l}\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}}$

Circonferenza inscritta e circoscritta

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero

Il raggio della circonferenza circoscritta è ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}l}$ da cui ${\displaystyle l=R{\sqrt {3}}}$

Il raggio della circonferenza inscritta è ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}l}$ da cui ${\displaystyle R=2\cdot r}$

L'area, noto R, è ${\displaystyle A={\frac {3\cdot R^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}}$

Note

1. Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

Voci correlate

• Criteri di congruenza dei triangoli
• Triangolo
• Triangolo isoscele
• Triangolo scaleno

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Collegamenti esterni

• triangolo equilatero, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Opere riguardanti equilateral triangle, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equilateral Triangle, su MathWorld, Wolfram Research.