Superfattoriale

In matematica, esistono più definizioni di superfattoriale.

Definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe

Secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe data in The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995), si definisce superfattoriale di un numero naturale ${\displaystyle n}$ il prodotto dei numeri fattoriali dei numeri interi minori o uguali a tale numero:

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)\equiv \prod _{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.}$

I superfattoriali così definiti rappresentano la successione A000178 dell'OEIS.

Equivalentemente, il superfattoriale è dato dalla formula

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i),}$

che è il determinante della matrice di Vandermonde.

Questa sequenza di superfattoriali comincia (da ${\displaystyle n=0}$) così:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

La generalizzazione del superfattoriale secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe, per i numeri complessi, è rappresentata dalla funzione G di Barnes, poiché si ha

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=G(n+2){\text{ per ogni numero intero }}n}$.

Definizione di Clifford A. Pickover

Un'altra definizione di superfattoriale, basata sull'operazione di tetrazione, è quella data nel 1995 da Clifford A. Pickover nel suo libro Keys to Infinity:

${\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ volte}}\end{matrix}},}$

ossia

${\displaystyle n\$=n![4]n!,}$

dove la notazione ${\displaystyle [4]}$ indica l'operatore di tetrazione, oppure usando la notazione a frecce di Knuth,

${\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).}$

Questa sequenza di superfattoriali comincia così:

${\displaystyle 1\$=1;}$

${\displaystyle 2\$=2^{2}=4;}$

${\displaystyle 3\$=6[4]6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}};}$

dove si deve intendere:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.}$

Voci correlate

• Fattoriale
• Iperfattoriale
• Funzione G di Barnes
• Tetrazione

Collegamenti esterni

• Superfactorial, su mathworld.wolfram.com.
• 103 curiosità matematiche - Scrivere grandi, grandi numeri, su books.google.it.