Relazione di congruenza

Vedi congruenza (geometria) per il termine usato in geometria elementare.

In matematica e soprattutto in algebra e in geometria, una relazione di congruenza, chiamata anche semplicemente congruenza, è una relazione di equivalenza compatibile con alcune operazioni algebriche.

Aritmetica modulare

L'esempio basilare è dato dall'aritmetica modulare: se n è un numero naturale positivo, due interi a e b sono detti congruenti modulo n se a − b è divisibile per n; oppure, equivalentemente, se a e b divisi per n danno lo stesso resto.

Si verifica facilmente che la relazione di congruenza è riflessiva, simmetrica e transitiva. Pertanto è una relazione di equivalenza. Questa relazione è compatibile con le operazioni di somma e prodotto fra numeri interi: ad esempio, se ${\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}}$ e ${\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$, allora ${\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}}$ e ${\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}}$.

Algebra lineare

Due matrici quadrate ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, a valori in un campo ${\displaystyle K}$, sono congruenti se esiste una matrice invertibile ${\displaystyle P}$ tale che

${\displaystyle P^{T}AP=B}$

dove ${\displaystyle P^{T}}$ è la matrice trasposta di ${\displaystyle P}$.

La relazione di congruenza è solitamente studiata fra matrici simmetriche, perché due tali matrici sono congruenti se e solo se rappresentano lo stesso prodotto scalare su basi diverse.

Nel caso in cui il campo ${\displaystyle K}$ sia il campo dei numeri reali o complessi, il teorema di Sylvester fornisce un invariante completo (detto segnatura) che caratterizza completamente le classi di equivalenza di matrici simmetriche congruenti.

Se ${\displaystyle K}$ è il campo dei numeri complessi, è possibile definire una nozione di congruenza lievemente differente: secondo questa definizione, due matrici sono congruenti se esiste una ${\displaystyle P}$ invertibile con

${\displaystyle {\bar {P}}^{T}AP=B}$

dove ${\displaystyle {\bar {P}}^{T}}$ è la matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle P}$. Questa definizione è utile per le matrici hermitiane: in questo contesto, due matrici hermitiane sono congruenti rappresentano la stessa forma hermitiana su basi diverse.

Algebra universale

L'idea viene generalizzata nell'algebra universale: una relazione di congruenza su un'algebra A è un sottoinsieme del prodotto diretto A × A tale che sia una relazione di equivalenza su A e una sottoalgebra di A × A.

Le congruenze tipicamente si presentano come nuclei di omomorfismi, e infatti ogni congruenza è il nucleo di qualche omomorfismo: Per una data congruenza ~ su A, l'insieme A/~ delle classi di equivalenza può essere, data la struttura di un'algebra, l'algebra quoziente. Inoltre, la funzione che associa ogni elemento di A alla sua classe di equivalenza è un omomorfismo, e il nucleo di questo omomorfismo è ~.

Teoria dei gruppi

Nel caso particolare dei gruppi, le relazioni di congruenza possono essere descritte in termini elementari: Se G è un gruppo (con elemento neutro e) e ~ è una relazione binaria su G, allora ~ è una congruenza se:

1. Dato un generico elemento a di G, a ~ a;
2. Dati i generici elementi a e b di G, se a ~ b, allora b ~ a;
3. Dati i generici elementi a, b, e c di G, se a ~ b e b ~ c, allora a ~ c;
4. Dati i generici elementi a e a' di G, se a ~ a', allora a⁻¹ ~ a'⁻¹;
5. Dati i generici elementi a, a', b, e b' di G, se a ~ a' e b ~ b', allora a * b ~ a' * b'.

Tale congruenza è determinata interamente dall'insieme {a ∈ G : a ~ e} degli elementi di G congruenti all'elemento neutro, e questo insieme è un sottogruppo normale. In particolare, a ~ b se e solo se b⁻¹ * a ~ e. Quindi, invece di parlare di congruenze su gruppi, si parla in termini di sottogruppi normali; infatti, ogni congruenza corrisponde in modo unico a un certo sottogruppo normale di G. Questo rende possibile parlare di nuclei in teoria dei gruppi come sottogruppi, mentre nella più generale algebra universale, i nuclei sono congruenze.

Teoria degli anelli

Un trucco simile permette di parlare dei nuclei nella teoria degli anelli come ideali invece di relazioni di congruenza, e in teoria dei moduli come sottomoduli invece di relazioni di congruenza.

Caso generale per i nuclei

La situazione più generale in cui questo trucco è possibile è nelle algebre a supporto ideale. Ma questo non è possibile con i monoidi, ad esempio, quindi lo studio delle relazioni di congruenza gioca un ruolo più centrale nella teoria dei monoidi.

Bibliografia

• (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (La sezione 4.5 tratta la congruenza di matrici.)

Voci correlate

• Aritmetica modulare