Congruenza fra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio.

Definizione

Due matrici quadrate ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, a valori in un campo ${\displaystyle K}$, sono congruenti se esiste una matrice invertibile ${\displaystyle P}$ tale che

${\displaystyle P^{T}AP=B}$

dove ${\displaystyle P^{T}}$ è la matrice trasposta di ${\displaystyle P}$.

Prodotti scalari

La relazione di congruenza è solitamente studiata fra matrici simmetriche, in quanto due prodotti scalari sono isometrici se e solo se sono rappresentati da matrici congruenti (rispetto a basi qualsiasi).

Più formalmente, se ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ sono prodotti scalari e ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ sono due basi qualsiasi, e ${\displaystyle A_{i}}$ è la matrice che rappresenta ${\displaystyle \phi _{i}}$ rispetto a ${\displaystyle B_{i}}$ per ogni ${\displaystyle i=1,2}$, allora ${\displaystyle \phi _{1}}$ e ${\displaystyle \phi _{2}}$ sono isometrici se e solo se ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle A_{2}}$ sono congruenti.

Teorema di Sylvester

Nel caso in cui il campo ${\displaystyle K}$ sia il campo dei numeri reali o complessi, il teorema di Sylvester fornisce un invariante completo che caratterizza completamente le classi di equivalenza di matrici simmetriche congruenti.

Nel caso reale, tale invariante è la segnatura, definita nel modo seguente: è una terna di numeri ${\displaystyle (i_{+},i_{-},i_{0})}$, indicanti rispettivamente il numero di autovalori reali positivi, negativi e nulli della matrice. Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica è diagonalizzabile e quindi la somma ${\displaystyle i_{+}+i_{-}+i_{0}}$, pari al numero totale di autovalori, è pari al numero di righe della matrice.

Congruenza per forme hermitiane

Se ${\displaystyle K}$ è il campo dei numeri complessi, è possibile definire una nozione di congruenza lievemente differente: secondo questa definizione, due matrici sono congruenti se esiste una ${\displaystyle P}$ invertibile con

${\displaystyle {\bar {P}}^{T}AP=B}$

dove ${\displaystyle {\bar {P}}^{T}}$ è la matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle P}$. Questa definizione è utile per le matrici hermitiane: in questo contesto, due matrici hermitiane rappresentano forme hermitiane rispetto ad alcune basi, e analogamente a quanto visto prima le forme sono isometriche se e solo se le matrici sono congruenti.

Bibliografia

• (EN) Gruenberg, K.W., Weir, A.J., Linear geometry, van Nostrand, 1967, p. 80.
• (EN) Hadley, G., Linear algebra, Addison-Wesley, 1961, p. 253.
• (EN) Herstein, I.N., Topics in algebra, John Wiley & Sons, 1975, p. 352, ISBN 0-471-02371-X.
• (EN) Mirsky, L., An introduction to linear algebra, Dover Publications, 1990, p. 182, ISBN 0-486-66434-1.
• (EN) Marcus, Marvin, Minc, Henryk, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, p. 81, ISBN 0-486-67102-X.
• (EN) Norman, C.W., Undergraduate algebra, Oxford University Press, 1986, p. 354, ISBN 0-19-853248-2.

Voci correlate

• Equivalenza sinistra-destra tra matrici
• Prodotto scalare
• Segnatura (algebra lineare)
• Similitudine fra matrici
• Teorema di Sylvester

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Congruenza fra matrici, su MathWorld, Wolfram Research.