Punto di equilibrio

Un punto di equilibrio di un sistema dinamico è un punto in corrispondenza del quale l'evoluzione del sistema è stazionaria.

Dato un sistema autonomo ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t))}$, il vettore ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ è un punto di equilibrio se ${\displaystyle f(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0} }$. In tal caso la funzione ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}}$ è una soluzione (stazionaria) per ogni ${\displaystyle t}$. Le soluzioni stazionarie sono tutti e soli i punti di equilibrio dell'equazione, la cui ricerca coincide quindi con il trovare gli zeri del campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {f} }$.

Definizione

Se il sistema dinamico è determinato da una equazione differenziale (o un sistema di equazioni):

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=F(x(t),t)}$

un punto di equilibrio è un punto ${\displaystyle x_{0}}$ tale che ${\displaystyle F(x_{0},t)=0}$ per ogni ${\displaystyle t}$. Questa condizione implica infatti che:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=0}$

da cui, integrando, si ottiene ${\displaystyle x(t)=cost}$ indipendentemente dal tempo ${\displaystyle t}$, ovvero il sistema tende a rimanere immutato alle condizioni descritte dal punto ${\displaystyle x_{0}}$. Di particolare interesse è lo studio delle derivate (o la jacobiana) di ${\displaystyle f}$ in corrispondenza dei punti di equilibrio, poiché fornisce diverse informazioni sul comportamento locale della soluzione.

Se il sistema dinamico è determinato da un'equazione di ricorrenza:

${\displaystyle x_{n+1}=T(x_{n},n)}$

allora un punto di equilibrio è un punto ${\displaystyle x_{0}}$ che sia un punto fisso delle mappe ${\displaystyle T(x_{i},i)}$, ovvero tale che ${\displaystyle T(x_{0},n)=0}$ per ogni n.

Stabilità

I punti di equilibrio possono essere classificati linearizzando l'equazione, e osservando il segno degli autovalori della matrice jacobiana (relativa al sistema linearizzato) valutata nel punto di equilibrio.

Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale nulla. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa il punto di equilibrio è stabile, mentre se almeno un autovalore ha parte reale positiva l'equilibrio è instabile. Infine, se ci sono almeno un autovalore che ha parte reale positiva e uno che ha parte reale negativa, il punto è un punto di sella.

Voci correlate

• Criterio di Dirichlet-Lagrange
• Punto critico (matematica)
• Punto di equilibrio iperbolico
• Punto di sella
• Punto fisso
• Stabilità interna
• Varietà stabile

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Antonio Giorgilli - Equilibri e stabilità (PDF), su mat.unimi.it.
• (EN) Jason Frank - Equilibrium Points and Fixed Points (PDF), su staff.science.uu.nl.
• (EN) Norman Lebovitz - Equilibrium Points (PDF), su people.cs.uchicago.edu.