In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues
![{\displaystyle L_{n}(x):={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right),\quad {\text{per}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17933fad727dc688dcff1b3d2da9132dc6705ffb)
Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }\,f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc38afe187ef7490c4c65f3a9fa6fde7402897b1)
La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.
Polinomi dei gradi più bassi
I primi polinomi sono:
![{\displaystyle \,L_{0}(x)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d932b1ef77372e2e3cc3381bce43a09d37c1d87)
![{\displaystyle \,L_{1}(x)=-x+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d08301900ded30fac6276d4b4e3f8114a7f742)
![{\displaystyle L_{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-2x+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22590e9e57711a66e1fb121c9411e95b485b6c9)
![{\displaystyle L_{3}(x)={\frac {1}{6}}\left(-x^{3}+9x^{2}-18x+6\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a548c02b8cc5759e6e64deb9cfcbc6421ee2854)
Come integrale di contorno
Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180a831db32024ce76ef66d74e4d637da1b65fe5)
relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.
Polinomi di Laguerre generalizzati
La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se
è una variabile casuale con distribuzione esponenziale
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x},&{\text{se }}x>0,\\0,&{\text{se }}x<0,\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263822c4357cb3e58bb8ab5bfee705683b07c13e)
allora
![{\displaystyle E(L_{n}(X)L_{m}(X))=0,\qquad n\neq m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442faa1cef9dcefe5d873720f9074970d4e5f612)
La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha ),&{\text{se }}x>0,\\0,&{\text{se }}x<0,\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a040b92ca9fb8e9d968817214ff581df1b02c227)
(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:
![{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x}x^{n+\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff03e6d3f1bf168b551aa20acf21cb9776e8e54f)
Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad
![{\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c814da00331677c92cd0815aeb48244972510c)
I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo
rispetto alla funzione peso
:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\,e^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401975cd05eba8554d468c8197abfec23320d216)
Per valori interi di
la precedente espressione di definizione si può scrivere
![{\displaystyle L_{n}^{(m)}(x)=(-1)^{m}{d^{m} \over dx^{m}}L_{n+m}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c16772cc435574999499dfd26f87aa464f2c18)
Relazione con i polinomi di Hermite
I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze
![{\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0735d5b5d6ce16401443a3bd0d78c73b899dce5)
e
![{\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22520802fede859b89060bba37ae89a0455abec0)
dove
denota il polinomio di Hermite di grado
Relazione con la serie ipergeometrica
I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come
![{\displaystyle L_{n}^{a}(x)={n+a \choose n}M(-n,a+1,x)={\frac {(a+1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,a+1,x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41884b0510a48eaf526609c6bf3c2104789d4aa)
dove
denota il simbolo di Pochhammer.
Bibliografia
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