In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.
Definizione
Dato uno spazio vettoriale
, detto
l'insieme delle
-forme su
, per ogni vettore
si definisce
l'applicazione
![{\displaystyle \iota _{X}:\Lambda ^{p}V\to \Lambda ^{p-1}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a734a455d5f4e9fcd6a2bc5db03403c08f3108e)
![{\displaystyle \omega \mapsto \iota _{X}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1980bc39af12c76e0afe13380a343bc229e75f35)
per cui
![{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\dots ,X_{p-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18ca6763dbf34defa24342521daa614525871b3)
Pertanto, il prodotto interno agisce su una
-forma restituendo una
-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.
A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:
- Linearità in
![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
- Linearità in
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Regola di Leibniz graduata:
![{\displaystyle \iota _{X}(\omega \wedge \xi )=(\iota _{X}\omega )\wedge \xi +(-1)^{p}\omega \wedge \iota _{X}\xi \qquad \omega \in \Lambda ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8defdf8f51358bdd2d1d7d448ab416a143ef021)
- Anticommutatività:
![{\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}+\iota _{Y}\iota _{X}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bd3979112ceecb88dbe4e350b6f5bdbb1b9550)
Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero
. Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado
perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.
Bibliografia
- (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
- (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
- (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.